SA=A^{T}S & Konjugieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 16.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Sei A aus [mm] k^{n \times n} [/mm]
c) für n [mm] \ge [/mm] 2 gibt es keine invertierbare Matrix S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] = [mm] A^T [/mm] für alle Matrizen A gleichzeitig gilt.
d) Gib jedoch eine Permutationsmatrix an, die beim Konjugieren aus oberen Dreiecksmatrizen untere macht und umgekehrt. |
Ich habe überhaubt keine Ahnung wo ich da ansetzen soll :-(
habe für den Teil c den Tip bekommen erst ein Gegenbeispiel zu finden und dann zu veralgemeinern aber ich weiß nicht wo ich anfangen soll.
Ich weiß nicht wie ich für allgemeine A so ein S berechnen können sollte.
Weiß grade nicht mal mehr wie ich das für ein spezielles A berechne
bin also "etwas" ratlos
bei der d) habe ich das Problem dass ich nicht weiß was die Aufgabe bedeutet
Konjugieren kenne ich nur als das komplex Konjugieren in [mm] \IC [/mm]
ist das hier auch gemeint? und was soll die Permutationsmatrix machen?
soll die Permutationsmatrix die Matrizen konjugieren? und wenn ja wie?
wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Aufgabenstellung erklären könnte
Neli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 16.04.2006 | | Autor: | Hanna80 |
Hallo Neli!
Ich habe am Freitag die gleiche Frage gestellt (Vielleicht sollten wir uns demnächst absprechen). Siehe unter "invertierbare Matrix". Und felixf hat mir den Tipp gegeben [mm]E_{ij}[/mm] Matrizen zu betrachten.
Also habe ich mir überlegt, wenn ich eine Matrix A = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm] habe und die in die Gleichung [mm] AS = SA^T[/mm] einsetze :
[mm] AS = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s_1 & s_2 \\ s_3 & s_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ s_1 & s_2 \end{pmatrix} = SA^T = \begin{pmatrix} s_1 & s_2 \\ s_3 & s_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & s_1 \\ 0 & s_3 \end{pmatrix}
\Rightarrow s_1 = 0\ und\ s_2 = s_3[/mm]
[mm]\Rightarrow S = \begin{pmatrix} 0 & s_2 \\ s_2 & s_4 \end{pmatrix}[/mm]
Wenn jetzt B = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
und ich benutze mein S von oben:
[mm] BS = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & s_2 \\ s_2 & s_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & s_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = SB^T = \begin{pmatrix} 0 & s_2 \\ s_2 & s_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ s_2 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\Rightarrow s_2 = 0 [/mm]
und S = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & s_4 \end{pmatrix}[/mm] ist nicht invertierbar. Also gibt es schon mal für n=2 keine invertierbare Matrix, die beim Konjugieren jede Matrix in ihr Transponiertes umwandelt. (hab ich auch gelernt, dass mit [mm] S^{-1}AS[/mm] = B, die Matrix A konjugiert wird, B=irgendwas.)
Vielleicht kann man die Geschichte jetzt allgemeiner aufschreiben, anstelle von 2 x 2 Matrizen.
Meinst du das geht?
Mit der Permutationsmatrix hab ich mich noch nicht beschäftigt. Mach ich morgen. Aber vielleicht kann man das erstmal mit 2x2 Matrizen ausprobieren.
Schöne Grüße
Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 21.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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