Saft-Mischungsverhältnis < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aus den drei Säften A, B und C soll durch Mischung ein neuer Saft entstehen, der 10% Apfelsaft, 8% Birnensaft und 82% Orangensaft enthält.
A= 12% Apfelsaft - 7 % Birnensaft - 81% Orangensaft
B= 9% Apfelsaft - 10 % Birnensaft - 81% Orangensaft
C= x% Apfelsaft - 7 % Birnensaft - y % Orangensaft
Frage:
Wie viel Prozent Apfelsaft darf C maximal enthalten, damit man aus A, B und C den gewünschten Saft mixen kann?
(P.S. Das war so eine Aufgabe aus dem "Mathe-Leistungskurs")
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Meine Überlegung ist die:
Da in C eine Maximalmenge an Apfelsaft vorkommen soll, darf entweder A oder B in der Mischung gar nicht vorhanden sein.
Frage: Ist diese Ausgangs-Überlegung "Pfiffig" oder "Falsch"?
Es sei a: Anteile von A / b: Anteile von B / c: Anteile von C
Sagen wir also: B sei gleich NULL
Dann ist
7a + 7c = 8
1a + 1c = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 7a + 7c = 7
[mm] \Rightarrow [/mm] Das ist ein Widerspruch. Also kann B nicht NULL sein, und somit muss A gleich NULL sein.
Wenn A gleich NULL ist, dann gilt:
10b + 7c = 8
1b + 1c = 1
Aus obigem Gleichungssystem folgt: [mm] c=\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] b=\bruch{1}{3}
[/mm]
Die Apfelsaft-Anteile sind:
2a + 9b + xc = 10 (wobei x der gesuchte Maximalwert ist)
Für a=0 / [mm] b=\bruch{1}{3} [/mm] / [mm] c=\bruch{2}{3} [/mm] ergibt sich x=10.5
Antwort:
Der Saft C darf höchstens 10.5 % Apfelsaft enthalten. Andernfalls kann man aus den drei Säften A, B und C keinen Saft mit 10% Apfelsaft, 8% Birnensaft und 82% Orangensaft mixen.
Sind meine Überlegungen so in Ordnung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Fr 21.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ueberlegung ist richtig, denn du musst den saft weglassen, der am meisten AS enthaelt. (das ginge aber nicht mehr, wenn y schon festlaege. so bestimmt x das y.
Gruss leduart
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Hier ist noch mal teoretische Begründung:
[mm] \begin{cases} 12a + 9b +xc = 10 \\
7a + 10b +7c =8 \\
81a + 81b + (93-x)c = 82 \\ a + b + c = 1
\end{cases}
[/mm]
4.te Gleichung in zweiten einsetzten bekommt man: 3b=1
3b=1 und 4.te Gl. in 3.te reinsetzen bekommt man: (12-x)c=1
da aber c nicht negativ sein kann, muss x=12- [mm] \varepsilon [/mm] sein, wobe [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Also muss c= [mm] 1/\varepsilon [/mm] sein.
daraus folgt [mm] a=\bruch{2\varepsilon -3}{3}.
[/mm]
a kann aber auch nicht negativ sein, also muss [mm] \varepsilon \ge [/mm] 3/2 sein.
Da aber x maxsimal sein soll, bekommen wir:
[mm] \varepsilon [/mm] =3/2 [mm] \Rightarrow [/mm] x=10,5
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:09 Mo 24.08.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Aus den drei Säften A, B und C soll durch Mischung ein
> neuer Saft entstehen, der 10% Apfelsaft, 8% Birnensaft und
> 82% Orangensaft enthält.
>
> A= 12% Apfelsaft - 7 % Birnensaft - 81% Orangensaft
>
> B= 9% Apfelsaft - 10 % Birnensaft - 81% Orangensaft
>
> C= x% Apfelsaft - 7 % Birnensaft - y % Orangensaft
>
> Frage:
> Wie viel Prozent Apfelsaft darf C maximal enthalten, damit
> man aus A, B und C den gewünschten Saft mixen kann?
>
> (P.S. Das war so eine Aufgabe aus dem
> "Mathe-Leistungskurs")
>
> Meine Überlegung ist die:
> Da in C eine Maximalmenge an Apfelsaft vorkommen soll,
> darf entweder A oder B in der Mischung gar nicht vorhanden
> sein.
>
> Frage: Ist diese Ausgangs-Überlegung "Pfiffig" oder
> "Falsch"?
Weder - noch, sie ist unvollständig, weil nicht begründet.
Wäre die Zielmischung 11/8/81, dann würde C nicht gebraucht und x könnte auch 100 % sein, also ist die Begründung deiner Überlegung nicht völlig trivial.
Ich hätte mir wahrscheinlich die Vorüberlegung geschenkt und wäre mit einem allgemeinen Ansatz auf a = [mm] \bruch{\bruch{2}{3}x - 7}{x - 12} [/mm] gekommen, wobei 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le \bruch{2}{3} [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 100 sein muß. Das ergibt für x das Intervall x [mm] \in [/mm] [0, 10,5].
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Di 25.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich wäre mit einem allgemeinen Ansatz auf a = [mm]\bruch{\bruch{2}{3}x - 7}{x - 12}[/mm] gekommen,
> wobei 0 [mm]\le[/mm] a [mm]\le \bruch{2}{3}[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 100 sein muß.
> Das ergibt für x das Intervall x [mm]\in[/mm] [0, 10,5].
Sicherlich gibt es hier unterschiedliche Ansätze.
Die Hauptschwierigkeit bei so einer Art von Aufgabe liegt jedoch darin, dass sie schnell mal zu einem "Karstadt-Problem" werden kann.
(Bei Karstadt gibt es 10 verschiedene Säfte zu kaufen, die alle Apfel, Birne und Orange in unterschiedlicher Mischung enthalten. Und nun soll man aus all diesen Säften eine Mischung mit 10% Apfelsaft, 8% Birnensaft und 82% Orangensaft herstellen. Die Frage lautet dann: Nennen Sie 3 verschiedene Möglichkeiten, wie man diese Säfte mixen kann. Im Endeffekt gibt es jedoch nahezu unendlich viele Möglichkeiten )
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