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Sattelpunkt: Aufgabe1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 27.04.2008
Autor: manolya

Aufgabe
Untersuchen Sie die Funktion f auf Extremal-und Sattelpunkte.
f(x)= [mm] \bruch{1}{4}*x^{4}-x^{3}+\bruch{3}{2}*x^{2}-x [/mm]

Tagchen,

ich vertausche die Bedingungen für ein Sattelpunkt und aus dem Grund komme ich mit dieser Aufgabe klar?! :S

Könnte mir vielleicht Jemand helfen; die Bedingungen zu erklären und diese Aufgabe zu lösen?

Vielen Dank im Voraus

Grüße

        
Bezug
Sattelpunkt: Bedingungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 So 27.04.2008
Autor: Loddar

Hallo manolya!


Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Damit lauten die notwendigen Kriterien für einen Sattelpunkt:
$$f'(x) \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ \ \ f''(x) \ = \ 0$$

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Sattelpunkt: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 So 27.04.2008
Autor: manolya

bei f'(x)=0 habe ich :  x1=1 x2=2,414   x3=  -0,414
bei f''(x)=0 habe ich : x1=1

oder musste ich die x-Werte der ersten Ableitung in die zweite Ableitung  einsetzten ??? :S

[mm] f'(x)=x^{3}-3*x^{2}+3*x-1 [/mm]
[mm] f''(x)=3*x^{2}-6*x+3 [/mm]


Ich bin grad fraglos!!!

Bezug
                        
Bezug
Sattelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 So 27.04.2008
Autor: steppenhahn

Ich glaube nicht, dass du fraglos, sonder ratlos bist :-)

Du hast die Funktion

[mm]f(x) = \bruch{1}{4}*x^{4} - x^{3} +\bruch{3}{2}*x^{2}-x[/mm].

Nun musst du zunächst die beiden Ableitungen bilden, die hast du richtig berechnet:

[mm]f'(x) = x^{3} - 3*x^{2} +3*x-1[/mm].

[mm]f''(x) = 3*x^{2} - 6*x + 3[/mm].

Beide Funktionen haben als Nullstellen nur x = 1:

[mm]f'(x) = x^{3} - 3*x^{2} +3*x-1 = (x-1)^{3}[/mm].

[mm]f''(x) = 3*x^{2} - 6*x + 3 = 3*(x-1)^{2}[/mm].

Wenn du nun also deinen Kandidaten für den Sattelpunkt auserkoren hast (Hier geht logischerweise nur x = 1, denn nur bei diesem x-Wert ist sowohl die erste als auch die zweite Ableitung 0), musst du den schon bekannten x-Wert des Sattelpunkts in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen, denn schließlich liegt er auf dieser Funktion und nicht auf deren Ableitungen.

Du berechnest also

f(1)

und erhältst dann den y-Wert deines Sattelpunkts.

Bezug
                                
Bezug
Sattelpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 So 27.04.2008
Autor: Martinius

Hallo,

die Bedingungen für einen Sattelpunkt sind ja f'(x)=0 , f''(x)=0 und [mm] f'''(x)\not=0. [/mm]

Da nun f'''(1)=0 ist, handelt es sich bei x=1 nicht um einen Sattelpunkt. Die nächste nichtverschwindende Ableitung von x=1 ist f''''(x), also eine gerade Ableitung, was bedeutet, dass es sich bei x=1 um einen Extremwert handelt.

Da [mm] f^{(4)}(1)=6 [/mm] positiv ist, handelt es sich um ein Minimum.

LG, Martinius

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Bezug
Sattelpunkt: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 So 27.04.2008
Autor: manolya

Nun bin ich ganz durcheinander
mit was kann ich nun Sattelpunkte rechnen ?
Martinius oder steppenhahn rechen bzw.denkweg?? :S :(

Bezug
                                                
Bezug
Sattelpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 So 27.04.2008
Autor: Martinius

Hallo Manolya,

schau dir das Polynom mal auf einem Plotter an; vielleicht hast Du ja auch einen GTR. Dann siehst Du, dass sie keinen Sattelpunkt hat.

[Dateianhang nicht öffentlich]


LG, Martinius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
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