Satz des Thales < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Der Satz des Thales besagt_Liegt ein Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser [mm] \overline{AB}, [/mm] so hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel.Beweisen Sie diese Aussage.Verwenden Sie die abgebildete Beweisfigur.Berechnen Sie dazu [mm] \vec{a}*\vec{b}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich versuche grad diese AUfgabe zu lösen.Jedoch komme ich an einer Stelle nicht mehr weiter.Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.Also ich hab so angefangen:
1.Vektorbelegungen:
[mm] \vec{a}=\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] \vec{n}=\overrightarrow{MC}
[/mm]
[mm] \vec{r}=\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MB}
[/mm]
[mm] \vec{c}=\overrightarrow{AB} [/mm] (Den Vektor [mm] \vec{c} [/mm] hab ich mal selbst festgelegt).
Danach hab ich mir alle Beziehungen aufgeschrieben:
1. [mm] \vec{c}=2\vec{r}
[/mm]
2. [mm] \vec{c}=\vec{b}-\vec{a}
[/mm]
3. [mm] \vec{n}=\vec{b}-\vec{r}
[/mm]
4. [mm] \vec{n}=\vec{r}+\vec{a}
[/mm]
5. [mm] \vec{a}\perp\vec{b},d.h. \vec{a}*\vec{b}=0
[/mm]
Dann hab ich versucht den Beweis anzufangen.
Beweis:
[mm] (\vec{b}-\vec{c})*(\vec{c}+\vec{a})=\vec{b}*\vec{c}+\vec{b}*\vec{a}-\vec{c}*\vec{c}-\vec{c}*\vec{a}
[/mm]
Hier hab ich jetzt aber mitten im Beweis [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] stehen,was ich ja eigentlich noch beweisen muss.Kann ich das dann so machen,dass ich [mm] \vec{b}*\vec{a} [/mm] ersetze durch [mm] (\vec{c}+\vec{a})*\vec{a} [/mm] ?
Ist mein Ansatz überhaupt so richtig?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
der Ansatz ist prinzipiell okay. Du machst es dir aber eigentilch zu schwer:
Du versuchst du zu beweisen, dass [mm] $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ [/mm] gilt. Jetzt machst du es dir aber gerade so umständlich, dass du [mm] $\vec{a}$ [/mm] wieder durch [mm] $\vec{b}$ [/mm] ausdrückst und umgekehrt. D.h. du wirst das [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] nicht los.
Auch wenn du das jetzt wieder ersetzt, steht da ja immer noch irgendwas [mm] $\vec{a}$-mäßiges.
[/mm]
Ich würde mir an deiner Stelle die Skizze nochmal anschauen, und versuchen, [mm] $\vec{a}$ [/mm] durch [mm] $\vec{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{r}$ [/mm] auszudrücken, und [mm] $\vec{r}$ [/mm] und [mm] $\vec{n}. [/mm] Dann bist du die ganzen [mm] $\vec{a}$ [/mm] etc. los.
Da wird dann, wenn du [mm] $\vec{a}\cdot\vec{b}$ [/mm] ausrechnest sich die gemischten Terme wegheben, und zwei "Quadrate" stehenbleiben. Da musst du dir dann nur noch anhand der Skizze überlegen, warum die sich gegenseitig wegheben.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.Ich hab noch eine Skizze beigefügt,damit man es besser nachvollziehen kann und habs jetzt nochmal versucht.
Ich hab jetzt [mm] \vec{a}=\vec{n}-\vec{r} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vec{n}+\vec{r}.Dann [/mm] kann ich schreiben:
[mm] \vec{a}*\vec{b}=\vec{n}^{2}-\vec{r}^{2}
[/mm]
Jetzt jab ich also 2 Quadrate.An der Skizze erkenn ich aber nicht,warum die 2 Quadrate sich wegeheben sollte.
Eigentlich müsste das doch heißen,dass [mm] \vec{r}=\vec{n} [/mm] ist oder?
Aber ich hab ja keinen Beweis dafür dass auch wirklich [mm] \vec{r}=\vec{n} [/mm] ist?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
denk mal daran, dass [mm] $\vec{n}^2$ [/mm] das Quadrat der Länge deines Vektors ist, genau das selbe mit [mm] $\vec{r}^2$. [/mm] D.h. hier gilt nicht, dass [mm] $\vec{r}=\vec{n}$ [/mm] sein muss, sondern nur, dass die Längen übereinstimmen (wenn wir zB [mm] \vec{z}=\pmat{x\\y\\z}$ [/mm] nehmen, und [mm] $\vec{r}\cdot\vec{r}=x^2+y^2+z^2$ [/mm] berechnen, ists offensichtlich, dass das gleich [mm] $|\vec{r}|^2$ [/mm] ist).
Und jetzt guck dir die Skizze nochmal an: [mm] $\vec{n}$ [/mm] ist ein Vektor, der vom Mittelpunkt des Kreises auf den Kreis zeigt. Welche Länge hat der Vektor? (Stichwort Radius). Und jetzt guck dir nochmal [mm] $\vec{r}$ [/mm] an, von wo bis wo der zeigt, und warum die Längen des Vektors mit der Länge des Vektors [mm] $\vec{n}$ [/mm] übereinstimmt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso stimmt,dann sind ja beides,also [mm] \vec{r} [/mm] und [mm] \vec{n} [/mm] der Radius vom Kreis.Daher sind die Längen von beiden auch gleich,da sie beide vom Mittelpunkt aus den gleichen Abstand zum Kreis haben.Aber wenn ich das so aufschreibe:
[mm] \vec{a}\cdot{}\vec{b}=\vec{n}^{2}-\vec{r}^{2}
[/mm]
Darf ich dann schreiben:
[mm] \vec{a}\cdot{}\vec{b}=0,weil [/mm] das würde ja heißen,dass [mm] \vec{n}^{2}-\vec{r}^{2}=0 [/mm] ist,was aber so nicht stimmt.Ich müsste dann doch schreiben:
[mm] |\vec{n}^{2}|-|\vec{r}^{2}|=0.
[/mm]
Darf ich dann aber einfach die Betragstriche hinzufügen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
[mm] $\vec{n}^2$ [/mm] ist doch gleich [mm] $|\vec{n}|^2$. $\vec{n}^2$ [/mm] ist gleich dem Längenquadrat deines Vektors, von daher reicht das doch schon als Begründung, dass beides die "Radius-Vektoren" sind mit selber Länge, um zu zeigen, dass [mm] $\vec{n}^2=\vec{r}^2$. [/mm] Da muss man mit den Betragsstrichen nicht mehr argumentieren.
Wenn du die aber dennoch da stehen haben willst, solltest du das Quadrat außerhalb der Betragsstriche schreiben. Ansonsten ist die Argumentation aber schlüssig.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Di 31.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok.Vielen Dank nochmal =)
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