Satz über implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 29.07.2009 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | | Sei $g: [mm] \IR^2 \to \IR^2$; [/mm] $g [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{e^{x+y} \\ e^{xy}}$. [/mm] Zeigen Sie, dass g im Punkt [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] lokal umkehrbar ist, und berechnen Sie die Ableitung der lokalen Umkehrfunktion [mm] $g^{-1} [/mm] :V := g(U) [mm] \to [/mm] U$ im Punkt [mm] $\vektor{e \\ 1}$. [/mm] |
Hallo!
Ich probiere mich grad am 2. Teil der Aufgabe. 1. Teil ging ganz leicht:
$Dg [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ y e^{xy} & x e^{xy} }$ [/mm] und da $Dg [mm] \vektor{1 \\0 } \not= [/mm] 0$, ist g in [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] lokal umkehrbar.
Wie muss ich da jetzt weiter gehen?
Ich hab mir überlegt, das mit dem Satz über impliziete Funktionen zu machen (unsere Definition: ![[]](/images/popup.gif) Kapitel 10, Seite 2, (Satz 10.2)).
Wenn ich das jetzt so versuche, setzt ich: [mm] $g^{-1} [/mm] := f$ und $g := F$ und erhalte somit:
[mm] $Dg^{-1} [/mm] (x) = - [mm] \left( \bruch{\partial g}{\partial y} \vektor{x \\g^{-1}(x)} \right)^{-1} \bruch{\partial g}{\partial x} \vektor{x \\ g^{-1}}$
[/mm]
nun komme ich nicht weiter.... Kann mir da jemand helfen??
Wäre gut, wenn ich möglichst schnell eine Antwort erhalte... schreibe morgen klausur! :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mi 29.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Hier ist der Umkehrsatz zuständig !!
Es ist
[mm] $(g^{-1})' \vektor{e \\ 1}= [/mm] (g' [mm] \vektor{1 \\ 0})^{-1} [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mi 29.07.2009 | | Autor: | wolle238 |
so einfach geht das?! super danke! :)
Ich erhalte dann: [mm] $Dg^{-1} \vektor{e}{1} [/mm] = [mm] \left( Dg \vektor{1}{0} \right)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{e & e \\0 & e }^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{\bruch{1}{e} & - \bruch{1}{e} \\ 0 & \bruch{1}{e}}$
[/mm]
Passt das?
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