Satz v. majorisierten Konv. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe schon mehrfach versucht den Beweis zu dem Satz der majorisierten konvergenz zu verstehen, und es klappt soweit ganz gut, abgesehen von ein paar Fragen.
SATZ :
Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Folge reellwertiger integrierbarer Funktionen auf X, die punktweise f.ü. gegen eine Funktion f konvergiert. es gebe eine integrierbare reellwertige Funktion g auf X mit [mm] \left| f_n(x) \right| \le g(x) [/mm] für alle [mm] x \in X, n \in \mathbb N [/mm].
Dann ist f integrierbar und
[mm] \integral f d \mu = \lim_{n} \integral f_n d \mu [/mm].
Beweis :
( die mir nicht verständlichen Sachen, sind rot geschrieben )
Wir können o.B.d.A annehmen, dass [mm] (f_n) [/mm] auf ganz X punktweise gegen f konvergiert. Dann ist f messbar.
Es ist [mm] \left| f(x) \right| \le g(x) , \forall x \in X [/mm].
Zu zeigen: [mm] \limes_{n} \integral ( f_n - f ) d \mu = 0 [/mm]
Sei [mm] g_n := \left| f_n - f \right| . [/mm]. Dann ist [mm] g_n [/mm] integrierbar und wir müssen zeigen:
[mm] \limes_{n} \integral g_n d \mu = 0 [/mm]
Sei [mm] h: = \left| f \right| + g [/mm].
Dann ist [mm] \limes_n ( h - g_n ) = h [/mm] .
[mm] h - [mm] g_n [/mm] = [mm] \left|f \right| [/mm] + g - [mm] \left| f_n - f \right| \ge \left|f \right| [/mm] + g - [mm] \left| f_n \right| [/mm] - [mm] \left| f \right| [/mm] = g - [mm] \left| f_n - f \right| \ge [/mm] 0
Nach dem Lemma von FATOU ist [mm] \integral h d\mu \le \liminf_{n} \integral ( h - g_n ) d \mu = \integral h d \mu - \limsup{n} \integral g_n d \mu [/mm]
[mm] \rightarrow \limsup_{n} \integral g_n d \mu \le 0 [/mm]
[mm] \rightarrow \limes_{n} \integral g_n d \mu = 0 [/mm]
Die Schlussfolgerung verstehe ich nicht. Warum wendet man das Lemma von Fatou an und die Umformung mit dem Limes superior ist mir unklar.
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 30.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Wir können o.B.d.A annehmen, dass [mm](f_n) [/mm] auf ganz X
> punktweise gegen f konvergiert. Dann ist f messbar.
> Es ist [mm]\left| f(x) \right| \le g(x) , \forall x \in X [/mm].
>
> Zu zeigen: [mm]\limes_{n} \integral ( f_n - f ) d \mu = 0[/mm]
>
> Sei [mm]g_n := \left| f_n - f \right| . [/mm]. Dann ist [mm]g_n[/mm]
> integrierbar und wir müssen zeigen:
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber liegt das nicht einfach daran, dass [mm] $f_n$ [/mm] integrierbar, $f$ messbar und daher [mm] $g_n$ [/mm] messbar und [mm] $\ge [/mm] 0$ ist und außerdem punktweise gegen 0 konvergiert?
> [mm]\limes_{n} \integral g_n d \mu = 0[/mm]
>
> Sei [mm]h: = \left| f \right| + g [/mm].
> Dann ist [mm]\limes_n ( h - g_n ) = h[/mm]
> .
> [mm]h - g_n= \left|f \right|+ g - \left| f_n - f \right| \ge \left|f \right| + g - \left| f_n \right| -\left| f \right| = g - \left| f_n - f \right| \ge0[/mm]
Nach dem Lemma von FATOU ist [mm]\integral h d\mu \le \liminf_{n} \integral ( h - g_n ) d \mu = \integral h d \mu - \limsup{n} \integral g_n d \mu[/mm]
> [mm]\rightarrow \limsup_{n} \integral g_n d \mu \le 0[/mm]
> [mm]\rightarrow \limes_{n} \integral g_n d \mu = 0[/mm]
Die Schlussfolgerung verstehe ich nicht. Warum wendet man das Lemma von Fatou an und die Umformung mit dem Limes superior ist mir unklar.
[mm] \integral h d\mu = \integral (\lim_n ( h - g_n ) ) d\mu \mathop{=}_{\overbrace{\lim \equiv \liminf}}\integral (\liminf_n ( h - g_n ) ) d\mu \mathop{\le}_{\overbrace{\text{Fatou}}} \liminf_n\integral ( h - g_n ) d \mu = \integral h d\mu + \liminf_n \left( - \integral g_n d\mu\right)[/mm]
und [mm] $\liminf_n [/mm] (- [mm] x_n) [/mm] = - [mm] \limsup_n x_n [/mm] $. (Anschaulich: da [mm] $\liminf_n$ [/mm] den kleinsten Häufungspunkt bedeutet, wird beim Umdrehen des Vorzeichens der größte Häufungspunkt daraus, also [mm] $\limsup_n$.
[/mm]
Schließlich wissen wir, dass [mm] $g_n$ [/mm] konvergiert und immer [mm] $\ge0$ [/mm] ist, also gibt's nur einen Häufungspunkt namens 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Edit:
Das war Quatsch meinerseits, Rainers Argumentation sollte stimmen. Mir war gar nicht aufgefallen, dass ja [mm] $\black{f}$ [/mm] nicht notwendig als int'bar vorausgesetzt wird (allerdings erhält man das als Ergebnis des Satzes! Aber natürlich erst nach dem Beweis  ). Sorry!
Gruß,
Marcel
Hallo rainers,
> Hallo Irmchen!
>
> > Wir können o.B.d.A annehmen, dass [mm](f_n)[/mm] auf ganz X
> > punktweise gegen f konvergiert. Dann ist f messbar.
> > Es ist [mm]\left| f(x) \right| \le g(x) , \forall x \in X [/mm].
>
> >
> > Zu zeigen: [mm]\limes_{n} \integral ( f_n - f ) d \mu = 0[/mm]
> >
> > Sei [mm]g_n := \left| f_n - f \right| . [/mm]. Dann ist [mm]g_n[/mm]
> > integrierbar und wir müssen zeigen:
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher, aber liegt das nicht einfach
> daran, dass [mm]f_n[/mm] integrierbar, [mm]f[/mm] messbar und daher [mm]g_n[/mm]
> messbar und [mm]\ge 0[/mm] ist und außerdem punktweise gegen 0
> konvergiert?
es ist einfacher: [mm] $g_n$ [/mm] ist integrierbar, weil wegen $f$ auch $-f$ integrierbar ist und als Summe integrierbarer Funktionen ist damit auch [mm] $f_n-f$ [/mm] integrierbar.
Da eine Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] genau dann Lebesgue-integrierbar ist, wenn $|f|$ Lebesgue-integrierbar ist (siehe :![[]](/images/popup.gif) Wiki, unter Integration nicht-negativer Funktionen und Integrierbarkeit) folgt daraus natürlich auch, dass [mm] $|f_n-f|=g_n$ [/mm] Lebesgue-int'bar ist.
(Übrigens: Die Messbarkeit ist im Begriff der Integrierbarkeit mitenthalten, aber nichtsdestotrotz ist es auch gut, dass Du es ansprichst, damit man sich daran erinnert: Ist $f$ messbar, so auch $-f$ und damit auch [mm] $f_n-f$ [/mm] als Summe messbarer Funktionen etc. Das ist hier indem Sinne gut, als dass man damit auch "wohldefinierte" Aussagen hat. Denn wäre eine Summe zweier messbarer Funktionen nicht notwendig wieder messbar, so wäre die Aussage, dass die Summe zweier int'barer Funktionen auch int'bar ist, schon problematisch. Zum Glück passt das in der Theorie aber auch alles zusammen .)
P.S.:
Der obige Begriff der (Lebesgue-)Integrierbarkeit meint hier natürlich in präziser Sprechweise die Lebesgue-Integrierbarkeit bzgl. des Maßes [mm] $\mu$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 01.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
Eine kleine Frage habe ich dennoch  :
> [mm]\integral h d\mu = \integral (\lim_n ( h - g_n ) ) d\mu \mathop{=}_{\overbrace{\lim \equiv \liminf}}\integral (\liminf_n ( h - g_n ) ) d\mu \mathop{\le}_{\overbrace{\text{Fatou}}} \liminf_n\integral ( h - g_n ) d \mu = \integral h d\mu + \liminf_n \left( - \integral g_n d\mu\right)[/mm]
>
> und [mm]\liminf_n (- x_n) = - \limsup_n x_n [/mm]. (Anschaulich: da
> [mm]\liminf_n[/mm] den kleinsten Häufungspunkt bedeutet, wird beim
> Umdrehen des Vorzeichens der größte Häufungspunkt daraus,
> also [mm]\limsup_n[/mm].
>
> Schließlich wissen wir, dass [mm]g_n[/mm] konvergiert und immer [mm]\ge0[/mm]
> ist, also gibt's nur einen Häufungspunkt namens 0.
Und zwar:
Gilt hier [mm] \lim \equiv \liminf [/mm] weil die Folge [mm] \lim_n ( h - g_n )
[/mm] monoton fallend ist?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 01.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> Guten Tag!
>
> Vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
> Eine kleine Frage habe ich dennoch :
>
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>
> > [mm]\integral h d\mu = \integral (\lim_n ( h - g_n ) ) d\mu \mathop{=}_{\overbrace{\lim \equiv \liminf}}\integral (\liminf_n ( h - g_n ) ) d\mu \mathop{\le}_{\overbrace{\text{Fatou}}} \liminf_n\integral ( h - g_n ) d \mu = \integral h d\mu + \liminf_n \left( - \integral g_n d\mu\right)[/mm]
>
> >
> > und [mm]\liminf_n (- x_n) = - \limsup_n x_n [/mm]. (Anschaulich: da
> > [mm]\liminf_n[/mm] den kleinsten Häufungspunkt bedeutet, wird beim
> > Umdrehen des Vorzeichens der größte Häufungspunkt daraus,
> > also [mm]\limsup_n[/mm].
> >
> > Schließlich wissen wir, dass [mm]g_n[/mm] konvergiert und immer [mm]\ge0[/mm]
> > ist, also gibt's nur einen Häufungspunkt namens 0.
>
>
> Und zwar:
>
> Gilt hier [mm]\lim \equiv \liminf[/mm] weil die Folge [mm]\lim_n ( h - g_n )
[/mm]
> monoton fallend ist?
das gilt, weil der Satz für eine reelle Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gilt:
Genau dann existiert [mm] $a=\lim_{n \to \infty} a_n$, [/mm] wenn [mm] $\limsup_{n \to \infty} a_n=\overline{a}$ [/mm] und [mm] $\liminf_{n \to \infty} a_n=\underline{a}$ [/mm] existieren und zudem [mm] $\overline{a}=\underline{a}$ [/mm] (und damit gilt dann auch [mm] $a=\overline{a}=\underline{a}$). [/mm]
Insbesondere gilt damit:
Wenn [mm] $a=\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] existiert, dann gilt [mm] $a=\liminf_{n \to \infty}a_n$ [/mm] (zudem gilt auch [mm] $a=\limsup_{n \to \infty}a_n)$.
[/mm]
Und da für eine Funktionenfolge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] und eine Funktion $r$ dann [mm] $\lim_{n \to \infty}r_n=r$ [/mm] (analoges für [mm] $\liminf...$, $\limsup...$) [/mm] im Sinne der punktweisen Konvergenz zu verstehen ist (ggf. punktweise Konvergenz fast überall; aber bei Euch wird ja im Beweis direkt o.B.d.A. punktweise Konvergenz auf $X$ angenommen), bedeutet dass, dass Du obigen Satz für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ anwenden kannst:
Also:
Weil für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty}r_n(x)=\liminf_{n \to \infty}r_n(x)$, [/mm] folgt:
[mm] $\lim_{n \to \infty}r_n=\liminf_{n \to \infty}r_n$
[/mm]
RainerS wendet dies hier dann mit [mm] $r_n=h-g_n$ [/mm] an.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Do 01.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
Marcel hat ja schon geantwortet; ich würde es nur etwas einfacher formulieren:
[mm] $\liminf$ [/mm] und [mm] $\limsup$ [/mm] bezeichnen den kleinsten und größten Häufungspunkt der Folge.
Eine konvergente Folge in einem metrischen Raum hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 01.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Ihr Zwei !
Vielen lieben Dank!
Super, hab es jetzt endlich ganz verstanden!
Viele Grüße
Irmchen
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