Satz von Arzela/Ascoli < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei eine Folge von lipschitz-stetigen Funktionen [mm] f_{n}:I\to\IR [/mm] auf einem (kompakten) Intervall $I = [a,b]$ mit gemeinsamer Lipschitz-Konstante [mm] L\in\IR_{+}.
[/mm]
- 1.) Zeige, dass dann die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] gleichgradig stetig ist
- 2.) Man zeige, dass die Folge auch gleichmäßig beschränkt ist, wenn zusätzlich für ein [mm] x_{0}\in [/mm] I die Zahlenfolge [mm] (f_{n}(x_{0}))_{n\in\IN} [/mm] beschränkt ist. |
Hallo!
Ich habe mich an den Aufgaben versucht und wollte euch bitten, ein kritisches Auge darüber zu werfen!
Zu 1.) Zu zeigen ist:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 [mm] \forall n\in\IN: \max_{x,x'\in [a,b], |x-x'|\le\delta_{\varepsilon}}|f_{n}(x)-f_{n}(x')| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, wähle [mm] $\delta_{\varepsilon} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2*L}$. [/mm] Dann ist für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] $\max_{x,x'\in [a,b], |x-x'|\le\delta_{\varepsilon}}|f_{n}(x)-f_{n}(x')| \le \max_{x,x'\in [a,b], |x-x'|\le\delta_{\varepsilon}}L*|x-x'| \le \max_{x,x'\in [a,b], |x-x'|\le\delta_{\varepsilon}}L*\delta_{\varepsilon} [/mm] = [mm] L*\delta_{\varepsilon} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ist das so okay? Bin mir wegen des Maximums ein wenig unsicher, aber wenn ich weiß, dass sich jedes Argument, was im Maximum steht, nach oben durch einen bestimmten Term abschätzen lässt, dann ist das Maximum dieser bestimmten Terme doch größer als das ursprüngliche Maximum, oder?
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Zu 2.): Zu zeigen ist:
[mm] $\sup_{n\in\IN} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] d.h. [mm] $\sup_{n\in\IN} \max_{x\in[a,b]}|f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Dazu genügt es zu zeigen, dass [mm] $\exists K\in \IR \forall x\in [/mm] [a,b] [mm] \forall n\in \IN$: $|f_{n}(x)|\le [/mm] K$.
Nach Voraussetzung existiert ein [mm] $x_{0}\in[a,b]$ [/mm] sodass [mm] $(f_{n}(x_{0}))_{n\in\IN}$ [/mm] beschränkt, d.h. es existiert ein [mm] K\in\IR [/mm] sodass [mm] $f_{n}(x_{0}) [/mm] < K$ für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Nun gilt für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und für beliebiges [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] wegen [mm] $f_{n}$ [/mm] L-stetig und [mm] $|a|-|b|\le|a-b|$:
[/mm]
[mm] $|f_{n}(x)| [/mm] - [mm] |f_{n}(x_{0})| \le |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{n}(x_{0})| \le L*|x-x_{0}| \le [/mm] L*(b-a)$
[mm] $\Rightarrow |f_{n}(x)| \le [/mm] L*(b-a) + [mm] |f_{n}(x_{0})| [/mm] < L*(b-a) + K$.
D.h. [mm] $\exists K_{2} \in \IR$ [/mm] mit [mm] $K_{2}:=L*(b-a) [/mm] + K$ sodass [mm] $\forall n\in\IN\forall x\in[a,b]: |f_{n}(x)|
Ist das so okay?
Vielen Dank für Eure Hilfe und Korrektur!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 10.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Bin weiterhin an der Beantwortung der Frage interessiert 
Grüße,
Stefan
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