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| Aufgabe | | In einem linearen System sind seine allgemeinen Elemente glatt bis auf den Basisort des Systems. |
Hallo alle miteinander,
ich bearbeite gerade für mich selbst den Beweis des Satzes von Bertini aus dem Buch von Griffiths & Harris "Principles of algebraic geometry" durch. Aber leider gibt es im Beweis ein paar Stellen die ich nicht so ganz verstehe:
1. Was meint er bei der Notation des Divisors [mm] D_{\lambda} [/mm] = [mm] (f(z_{1}, \dots, z_{n}) [/mm] + [mm] \lambda \cdot g(z_{1}, \dots, z_{n})) [/mm] = 0) den Ausdruck [mm] f(z_{1}, \dots, z_{n}) [/mm] + [mm] \lambda \cdot g(z_{1}, \dots, z_{n})) [/mm] = 0? Sonst hat er bei der Einführung von den Divisoren bzgl. Funktionen evtl. mal D = (f) gesetzt, aber das man das f als Gleichung im Sinne eines Divisors auffassen kann, verstehe ich nicht. Mir ist natürlich klar, dass ich holomorphe Funktionen brauche, wenn das lineare System sich in einer Polyscheibe [mm] \triangle [/mm] einer kompakt komplexen Mannigfaltigkeit X befindet. Aber wie kommt er denn dann drauf, dass die Divisoren gerade so aussehen müssen bzw. was will er damit ausdrücken? Oder werden damit irgenwie Hyperflächen dargestellt?
2. Die 2. Frage ist eigentlich mehr eine Bestätigung von euer Seite (, falls ich den Beweis richtig verstanden habe). Dieser Beweis ist ja ein Widerspruchsbeweis und wenn nun die Darstellung [mm] f(P_{\lambda}) [/mm] + [mm] \lambda \cdot g(P_{\lambda}) [/mm] = 0 für einen singulären Punkt [mm] P_{\lambda} [/mm] des Divisors [mm] D_{\lambda} [/mm] gilt, der nicht im Basisort liegt, dann findet man den widerspruch bzgl. der oben genannten gleichung darin, dass der Bruch f/g (lokale meromorphe Funktion) schon eine konstante darstellt auf der Menge der singulären Punkte ohne die Menge der Basispunkte und somit die obige gleichung nie erfüllen könnte. Ist das richtig?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> In einem linearen System sind seine allgemeinen Elemente
> glatt bis auf den Basisort des Systems.
>
> ich bearbeite gerade für mich selbst den Beweis des Satzes
> von Bertini aus dem Buch von Griffiths & Harris "Principles
> of algebraic geometry" durch. Aber leider gibt es im Beweis
den Beweis kenne ich nicht, deswegen kann ich nicht wirklich antworten. Aber zum ersten Teil der ersten Frage:
> ein paar Stellen die ich nicht so ganz verstehe:
> 1. Was meint er bei der Notation des Divisors [mm]D_{\lambda}[/mm]
> = [mm](f(z_{1}, \dots, z_{n})[/mm] + [mm]\lambda \cdot g(z_{1}, \dots, z_{n}))[/mm]
> = 0) den Ausdruck [mm]f(z_{1}, \dots, z_{n})[/mm] + [mm]\lambda \cdot g(z_{1}, \dots, z_{n}))[/mm]
> = 0? Sonst hat er bei der Einführung von den Divisoren
> bzgl. Funktionen evtl. mal D = (f) gesetzt, aber das man
> das f als Gleichung im Sinne eines Divisors auffassen kann,
> verstehe ich nicht.
Vielleicht ist hier der Nullstellendivisor der Funktion $f + [mm] \lambda [/mm] g$ gemeint? Also der "Teildivisor" von $(f + [mm] \lambda [/mm] g)$, der nur positive Koeffizienten umfasst?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 09.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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