Satz von Caley-Hamilton < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich sitze grad an einer Aufgabe, die ich mit dem Satz von Caley-Hamilton lösen soll... Leider kapier ich nicht, was ich tun muß...
Vielleicht kann mir ja irgendjemand auf die Sprünge helfen??
Die Aufgabe lautet:
Sei R ein komm. Ring mit 1. Zeigen Sie für den Fall, das R ein Körper ist, mit dem Satz von C.-H. , daß für A [mm] \in [/mm] M (2x2, R) gilt:
[mm] A^2 [/mm] - (tr A) * A + det A * [mm] E_{2} [/mm] = 0
Vielen Dank!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Naja, für eine Matrix $A= [mm] \pmat{a & b \\ c & d} \in K^{2 \times 2}$ [/mm] gilt nun einmal:
[mm] $CP_A(x)$
[/mm]
$= [mm] \det\pmat{ a-x & b \\ c & d-x}$
[/mm]
$= (a-x) [mm] \cdot [/mm] (d-x) - bc$
[mm] $=x^2 [/mm] - (a+d)x + ad-bc$
[mm] $=x^2 [/mm] - tr(A)x + [mm] \det(A)$,
[/mm]
also nach dem Satz von Cayley-Hamilton:
$0 = [mm] CP_A(A) [/mm] = [mm] A^2-tr(A)A+\det(A)E_2$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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