Satz von Gauß < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei [mm] A\subset \IR^n [/mm] ein Kompaktum mit glattem Rand, welches im Inneren den Nullpunkt enthält.
Ich wollte nun zeigen, dass
[mm] \integral_{\partial A}{\langle\bruch{x}{ \parallel x\parallel^3},N(x)\rangle d\lambda_A} [/mm] = [mm] 4\pi
[/mm]
Dabei ist N(x) der Normalvektor im Punkt x.
Dazu habe ich nun f(x) := [mm] \bruch{x}{ \parallel x\parallel^3} [/mm] und [mm] A_n [/mm] := {x [mm] \in [/mm] A : [mm] \parallel x\parallel \ge \bruch{1}{n} [/mm] }, n > 0, betrachtet.
Nun kann ich doch den Satz von Gauß verwenden wobei div f(x) = 0 für alle x [mm] \in A_n [/mm] gilt:
[mm] \integral_{A_n}{div f(x) d\lambda_3(x)} [/mm] = [mm] \integral_{\partial A}{\langle f(x), N(x)\rangle d\lambda_{\partial A}(x)} [/mm] + [mm] \integral_{\partial B(0,\bruch{1}{n})}{\langle f(x), N^\circ(x)\rangle d\lambda_{\partial B(0,\bruch{1}{n})}(x)}
[/mm]
damit habe ich nun
[mm] \integral_{\partial A}{\langle f(x), N(x)\rangle d\lambda_{\partial A}(x)} [/mm] + [mm] \integral_{\partial B(0,\bruch{1}{n})}{\langle f(x), N^\circ(x)\rangle d\lambda_{\partial B(0,\bruch{1}{n})}(x)} [/mm] = 0
Zusammen mit
[mm] \integral_{\partial B(0,\bruch{1}{n})}{\langle f(x), N^\circ(x)\rangle d\lambda_{\partial B(0,\bruch{1}{n})}(x)} [/mm] = - [mm] 4\pi
[/mm]
ergibt sich
[mm] \integral_{\partial A}{\langle f(x), N(x)\rangle d\lambda_{\partial A}(x)} [/mm] = [mm] 4\pi
[/mm]
Das müsste doch so reichen oder?
was mir auffällt: Wenn ich nun hingehe und [mm] n\to\infty [/mm] laufen lasse
erhalte ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{A_n}{div f(x) d\lambda_3(x)} [/mm] = [mm] 4\pi
[/mm]
und nach einer Folgerung der majorisierten Konvergenz
[mm] \integral_{A}{div f(x) d\lambda_3(x)} [/mm] = [mm] 4\pi
[/mm]
und dass obwohl div f(x) im Nullpunkt nicht stetig ist, und der Satz von Gauß nicht anwendbar wäre. Oder hab ich mich da versehen?
Gruß Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 22.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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