www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Satz von Gauß
Satz von Gauß < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Gauß: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 12.06.2020
Autor: Ataaga

Aufgabe
Ein Körper K  sei gegeben durch :
[mm] \[ [/mm]
[mm] K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \in[-1,1], y \in[0,2], z \in\left[0,1-x^{2}\right]\right\} [/mm]

Außerdem sei für [mm] \( [/mm] a [mm] \in \mathbb{R} \) [/mm] ein Vektorfeld gegeben durch:
[mm] \[ [/mm]
w(x, y, [mm] z)=\left(\begin{array}{c} x \\ y^{2} \\ a \end{array}\right) [/mm]

a) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds w  durch die Oberfläche des Körpers K  direkt,
d.h. durch Oberflächenintegrale.
Berechnung von 4 Oberflächenintegralen.
Dach: Parametrisierung [mm] \( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 1-x^{2}\end{array}\right),(x, [/mm] y) [mm] \in [/mm] D=[-1,1] [mm] \times[0,2] \) [/mm]
[mm] \[ [/mm]
[mm] \Rightarrow \Phi_{x}(x, [/mm] y) [mm] \times \Phi_{y}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 x \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) [/mm]

[mm] \( \begin{aligned} \iint_{D K_{1}} w \cdot \hat{n} d \mathcal{O} &=\iint_{D} w(\Phi(x, y)) \cdot\left(\Phi_{x}(x, y) \times \Phi_{y}(x, y)\right) d(x, y) \\ &=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}2 x \\ 0 \\ 1\end{array}\right) d(x, y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1} 2 x^{2}+a d x d y \\ &=\int \limits_{0}^{2}\left[\frac{2}{3} x^{3}+a x\right]_{-1}^{1} d y=\int \limits_{0}^{2} \frac{4}{3}+2 a d y=\left[\left(\frac{4}{3}+2 a\right) y\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}+4 a \end{aligned} \) [/mm]

2. Boden: [mm] \( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 0\end{array}\right),(x, [/mm] y) [mm] \in [/mm] D=[-1,1] [mm] \times[0,2], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \) [/mm]
[mm] \( \iint_{\partial K_{2}} [/mm] w [mm] \cdot \hat{n} [/mm] d [mm] \mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) [/mm] d(x, [mm] y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1}-a [/mm] d x d y
[mm] =\int \limits_{0}^{2}[-a x]_{-1}^{1} [/mm] d [mm] y=\int \limits_{0}^{2}-2 [/mm] a d y=[-2 a [mm] y]_{0}^{2}=-4 [/mm] a

3. Vorderseite: [mm] \( \Phi(x, z)=\left(\begin{array}{c}x \\ 0 \\ z\end{array}\right),(x, [/mm] z) [mm] \in [/mm] D=[-1,1] [mm] \times\left[0,1-x^{2}\right], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \) [/mm]
[mm] \( \iint_{\partial K_{3}} [/mm] w [mm] \cdot \hat{n} [/mm] d [mm] \mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{l}x \\ 0 \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) [/mm] d(x, [mm] y)=\iint_{D} [/mm] 0 d(x, y)=0

4. Rückseite: [mm] \( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ 2 \\ z\end{array}\right),(x, [/mm] z) [mm] \in [/mm] D=[-1,1] [mm] \times\left[0,1-x^{2}\right], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) [/mm]
[mm] \[ [/mm]
[mm] \begin{aligned} \iint_{\partial K_{4}} w \cdot \hat{n} d \mathcal{O} &=\iint_{D}\left(\begin{array}{c} x \\ 4 \\ a \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) d(x, y)=\int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{0}^{1-x^{2}} 4 d z d x \\ &=\int \limits_{-1}^{1}[4 z]_{0}^{1-x^{2}} d x=\int \limits_{-1}^{1} 4-4 x^{2} d x=\left[4 x-\frac{4}{3} x^{3}\right]_{-1}^{1}=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} \end{aligned} [/mm]

Insgesamt:
[mm] \[ [/mm]
[mm] \iint_{\partial K} [/mm] w [mm] \cdot \hat{n} [/mm] d [mm] \mathcal{O}=\underline{8} [/mm]


Hallo Zusammen,
wenn ich Boden, Vorderseite und Rückseite berechne muss ich erstmal [mm] \( \Phi( [/mm] ) aufstellen, danach muss ich w und [mm] \( \hat{n} \) [/mm] berechnen.
Ich habe aber null Ahnung wie man  [mm] \( \Phi( [/mm]    ) aufstellt und w und  [mm] \( \hat{n} \) [/mm] berechnet.

Kann mir bitte jemand es erklären, aber so dass ich es auch verstehen kann.

Viele Grüße

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Satz von Gauß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 Sa 13.06.2020
Autor: meili

Hallo Ataaga,

> Ein Körper K  sei gegeben durch :
>  [mm]\[[/mm]
>  [mm]K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \in[-1,1], y \in[0,2], z \in\left[0,1-x^{2}\right]\right\}[/mm]
>  
> Außerdem sei für [mm]\([/mm] a [mm]\in \mathbb{R} \)[/mm] ein Vektorfeld
> gegeben durch:
>  [mm]\[[/mm]
>  w(x, y, [mm]z)=\left(\begin{array}{c} x \\ y^{2} \\ a \end{array}\right)[/mm]
>  
> a) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds w  durch die
> Oberfläche des Körpers K  direkt,
>  d.h. durch Oberflächenintegrale.
>  Berechnung von 4 Oberflächenintegralen.

Ab hier wird ja alles vorgerechnet für die Aufgabe.

Da es im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, kann man sich von der Anschauung leiten lassen.

Dach ist die komplizierteste Begrenzungsfläche des Körpers K, da sie
gebogen ist, parabelförmig nach unten geöffnet.

>  Dach: Parametrisierung [mm]\( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 1-x^{2}\end{array}\right),(x,[/mm]
> y) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times[0,2] \)[/mm]
>  [mm]\[[/mm]

Hier steht die Parametrisierung [mm]\( \Phi(x, y) [/mm] der Fläche. Man
gewinnt sie aus der Definition des Körpers K.
x nimmt die Werte des Intervalls [-1,1] an,
y nimmt die Werte des Intervalls [0,2] an,
z wird durch [mm] $1-x^2$ [/mm] bestimmt.


>  [mm]\Rightarrow \Phi_{x}(x,[/mm] y) [mm]\times \Phi_{y}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 x \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)[/mm]

Hier wird der Normalenvektor [mm] $\( \hat{n} \) [/mm] = [mm] \vektor{2 x \\0 \\ 1}$ [/mm] für Dach berechnet.

Die Normalenvektoren sollen in jedem Punkt der Fläche, senkrecht auf der
Fläche stehen und vom Körper K aus gesehen nach außen gerichtet sein.

Wenn die Fläche  nicht eben ist, bekommt man den Normalenvektor, indem
man für [mm] $\Phi_{x}(x, [/mm] y)$ die Parameterisierung der Fläche  [mm] $\Phi(x, [/mm] y)$
komponentenweise nach x differenziert ( [mm] $\Phi_{x}(x, [/mm] y)$ ist der
Tangentialvektor der Fläche im Punkt (x, y, [mm] $1-x^2$) [/mm] in x-Richtung)
und für [mm] $\Phi_{y}(x, [/mm] y)$ die Parameterisierung der Fläche  [mm] $\Phi(x, [/mm] y)$
komponentenweise nach y differenziert ( [mm] $\Phi_{y}(x, [/mm] y)$ ist der
Tangentialvektor der Fläche im Punkt (x, y, [mm] $1-x^2$) [/mm] in y-Richtung).
Mit dem Kreuzprodukt aus [mm] $\Phi_{x}(x, [/mm] y)$  und [mm] $\Phi_{y}(x, [/mm] y)$ erhält man  $ [mm] \( \hat{n} \) [/mm] $

>  
> [mm]\( \begin{aligned} \iint_{D K_{1}} w \cdot \hat{n} d \mathcal{O} &=\iint_{D} w(\Phi(x, y)) \cdot\left(\Phi_{x}(x, y) \times \Phi_{y}(x, y)\right) d(x, y) \\ &=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}2 x \\ 0 \\ 1\end{array}\right) d(x, y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1} 2 x^{2}+a d x d y \\ &=\int \limits_{0}^{2}\left[\frac{2}{3} x^{3}+a x\right]_{-1}^{1} d y=\int \limits_{0}^{2} \frac{4}{3}+2 a d y=\left[\left(\frac{4}{3}+2 a\right) y\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}+4 a \end{aligned} \)[/mm]
>  
> 2. Boden: [mm]\( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 0\end{array}\right),(x,[/mm]
> y) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times[0,2], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)[/mm]

Boden ist ein Quadrat in der xy-Ebene, deshalb ist in der Parameterisierung
die z-Komponente Null und der Normalenvektor zeigt in die negative z-Richtung.

Wenn man der Anschauung nicht traut, kann man das Verfahren zur
Berechnung des Normalenvektors wie bei der Fläche Dach durchführen.


>  
> [mm]\( \iint_{\partial K_{2}}[/mm] w [mm]\cdot \hat{n}[/mm] d
> [mm]\mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)[/mm]
> d(x, [mm]y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1}-a[/mm] d x d
> y
> [mm]=\int \limits_{0}^{2}[-a x]_{-1}^{1}[/mm] d [mm]y=\int \limits_{0}^{2}-2[/mm]
> a d y=[-2 a [mm]y]_{0}^{2}=-4[/mm] a
>
> 3. Vorderseite: [mm]\( \Phi(x, z)=\left(\begin{array}{c}x \\ 0 \\ z\end{array}\right),(x,[/mm]
> z) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times\left[0,1-x^{2}\right], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \)[/mm]

Vorderseite ist eine Fläche in der xz-Ebene nach oben begrenzt von einer
Parabel, deshalb ist die y-Komponente Null.
Normalenvektor zeigt in die negative y-Richtung.

>  
> [mm]\( \iint_{\partial K_{3}}[/mm] w [mm]\cdot \hat{n}[/mm] d
> [mm]\mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{l}x \\ 0 \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)[/mm]
> d(x, [mm]y)=\iint_{D}[/mm] 0 d(x, y)=0
>
> 4. Rückseite: [mm]\( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ 2 \\ z\end{array}\right),(x,[/mm]
> z) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times\left[0,1-x^{2}\right], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)[/mm]

Rückseite ist eine Fläche in der Form wie die Vorderseite, aber mit konstantem Wert y=2.
Der Normalenvektor zeigt in die y-Richtung.

>  
> [mm]\[[/mm]
>  [mm]\begin{aligned} \iint_{\partial K_{4}} w \cdot \hat{n} d \mathcal{O} &=\iint_{D}\left(\begin{array}{c} x \\ 4 \\ a \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) d(x, y)=\int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{0}^{1-x^{2}} 4 d z d x \\ &=\int \limits_{-1}^{1}[4 z]_{0}^{1-x^{2}} d x=\int \limits_{-1}^{1} 4-4 x^{2} d x=\left[4 x-\frac{4}{3} x^{3}\right]_{-1}^{1}=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} \end{aligned}[/mm]
>  
> Insgesamt:
>  [mm]\[[/mm]
>  [mm]\iint_{\partial K}[/mm] w [mm]\cdot \hat{n}[/mm] d
> [mm]\mathcal{O}=\underline{8}[/mm]
>  
> Hallo Zusammen,
>  wenn ich Boden, Vorderseite und Rückseite berechne muss
> ich erstmal [mm]\( \Phi([/mm] ) aufstellen, danach muss ich w und [mm]\( \hat{n} \)[/mm]
> berechnen.
>  Ich habe aber null Ahnung wie man  [mm]\( \Phi([/mm]    ) aufstellt
> und w und  [mm]\( \hat{n} \)[/mm] berechnet.

w ist in der Aufgabe gegeben. $w(x,y,z) = [mm] \vektor{x \\ y^2 \\ a}$. [/mm]
Eigentlich hängt dieses w nur von x und y ab. Wenn die Parametrisierung [mm] $\Phi$ [/mm]  der jeweiligen Fläche
feste Werte für x oder y enthält, werden diese in w eingesetzt
z.B. für die Vorderseite y=0 oder für die Rückseite y=2.
Variieren x und y in der Parametrisierung [mm] $\Phi$ [/mm]  der jeweiligen Fläche nimmt man w wie gegeben.

>  
> Kann mir bitte jemand es erklären, aber so dass ich es
> auch verstehen kann.

Man kann es versuchen, aber man kann nie wissen, ob du es dann verstehen kannst.

>  
> Viele Grüße
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Satz von Gauß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 So 14.06.2020
Autor: Ataaga

Hallo,
ich habe alles verstanden bis:

> > 2. Boden: [mm]\( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 0\end{array}\right),(x,[/mm]

Hier haben wir doch bei z=0
Warum wurde unten für z: a gesetzt?

> > y) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times[0,2], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)[/mm]
>  
> Boden ist ein Quadrat in der xy-Ebene, deshalb ist in der
> Parameterisierung die z-Komponente Null und der
> Normalenvektor zeigt in die negative z-Richtung.
>  
> >  

> > [mm]\( \iint_{\partial K_{2}}[/mm] w [mm]\cdot \hat{n}[/mm] d
> > [mm]\mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)[/mm]


Hier müsste doch doch bei z, Null stehen oder nicht?
also 0*a=0


> > d(x, [mm]y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1}-a[/mm] d x d
> > y
> > [mm]=\int \limits_{0}^{2}[-a x]_{-1}^{1}[/mm] d [mm]y=\int \limits_{0}^{2}-2[/mm]
> > a d y=[-2 a [mm]y]_{0}^{2}=-4[/mm] a


Hallo,
kannst du mir bitte erklären, wie du auf W kommst, wenn du die Vorderseite berechnest? Ansonsten habe ich alles verstanden.

Da steht ja w=(x,0,z)

Oben wurde  [mm] w(x,y,z)=(x,y^2,a) [/mm] vorgegeben. Wieso hat sich w geändert?

Also wie kommt man auf W=(x,0,a) ???????
Bitte rechnerisch!


Liebe Grüße



Bezug
                        
Bezug
Satz von Gauß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 So 14.06.2020
Autor: meili

Hallo Ataaga,

> Hallo,
>  ich habe alles verstanden bis:
>  
> > > 2. Boden: [mm]\( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 0\end{array}\right),(x, y) \in [.1, 1] \times [0, 2] [/mm]

[mm] $\Phi(x, [/mm] y)$ ist eine Parametrisierung der Fläche Boden

>
> Hier haben wir doch bei z=0
>  Warum wurde unten für z: a gesetzt?

[mm]w(x,y)= \vektor{x \\ y^2 \\a}[/mm] ist das gegebene Vektorfeld
und wird so in das Integral eingesetzt, da in der Fläche Boden x und y
verschiedene Werte annehmen.

Die z-Komponente des Vektorfeldes ist konstant a egal bei welchem Punkt des [mm] $\IR^3$, [/mm]
(bei dem Vektorfeld in dieser Aufgabe) auch wenn die z-Komponente der Fläche,
durch die der Fluss des Vektorfeldes berechnet werden soll, Null ist.

>  
> > > y) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times[0,2], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)[/mm]

[mm] $\hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ [/mm] ist der Normalenvektor auf dieser Fläche.

>  
> >  

> > Boden ist ein Quadrat in der xy-Ebene, deshalb ist in der
> > Parameterisierung die z-Komponente Null und der
> > Normalenvektor zeigt in die negative z-Richtung.
>  >  
> > >  

> > > [mm]\( \iint_{\partial K_{2}}[/mm] w [mm]\cdot \hat{n}[/mm] d
> > > [mm]\mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)[/mm]
>
>
> Hier müsste doch doch bei z, Null stehen oder nicht?
>  also 0*a=0

Nein, denn im Integral steht das Skalarprodukt aus dem Vektor des Vektorfeldes w und des Normalenvektors [mm] $\hat{n}$. [/mm]

>  
>
> > > d(x, [mm]y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1}-a[/mm] d x d
> > > y
> > > [mm]=\int \limits_{0}^{2}[-a x]_{-1}^{1}[/mm] d [mm]y=\int \limits_{0}^{2}-2[/mm]
> > > a d y=[-2 a [mm]y]_{0}^{2}=-4[/mm] a
>
>
> Hallo,
>  kannst du mir bitte erklären, wie du auf W kommst, wenn
> du die Vorderseite berechnest? Ansonsten habe ich alles
> verstanden.
>  
> Da steht ja w=(x,0,z)
>  
> Oben wurde  [mm]w(x,y,z)=(x,y^2,a)[/mm] vorgegeben. Wieso hat sich w
> geändert?
>  
> Also wie kommt man auf W=(x,0,a) ???????
>  Bitte rechnerisch!

Das Vektorfeld w hängt von x und y ab. Das Vektorfeld w ordnet jedem Punkt (x,y,z) des [mm] $\IR^3$ [/mm] einen Vektor, den Vektor [mm] $\vektor{x \\ y^2 \\ a}$ [/mm] zu.
In der gesamten Fläche Vorderseite ist y=0, da Vorderseite in der yz-Ebene liegt.
Wenn man das Vektorfeld w in der Fläche Vorderseite berechnet, setzt man y=0 in w ein:
[mm]w(x,0,z)=\vektor{x \\ 0^2 \\ a} = \vektor{x \\ 0 \\ a} [/mm]


Bei der Fläche Rücksteite ist konstant y=2, deshalb w in Rückseite:
[mm]w(x,2,z)=\vektor{x \\ 2^2 \\ a} = \vektor{x \\ 4 \\ a} [/mm]

>  
>
> Liebe Grüße
>  

Gru0
meili

>  


Bezug
                                
Bezug
Satz von Gauß: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:37 Fr 03.07.2020
Autor: Ataaga

Aufgabe
Hallo meili,
gibst du auch Nachhilfe Unterricht privat?

Gruß

> Hallo Ataaga,
>  
> > Hallo,
>  >  ich habe alles verstanden bis:
>  >  
> > > > 2. Boden: [mm]\( \Phi(x, y)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ 0\end{array}\right),(x, y) \in [.1, 1] \times [0, 2][/mm]
> [mm]\Phi(x, y)[/mm] ist eine Parametrisierung der Fläche Boden
>  
> >
> > Hier haben wir doch bei z=0
>  >  Warum wurde unten für z: a gesetzt?
>  [mm]w(x,y)= \vektor{x \\ y^2 \\a}[/mm] ist das gegebene Vektorfeld
> und wird so in das Integral eingesetzt, da in der Fläche
> Boden x und y
>  verschiedene Werte annehmen.
>  
> Die z-Komponente des Vektorfeldes ist konstant a egal bei
> welchem Punkt des [mm]\IR^3[/mm],
> (bei dem Vektorfeld in dieser Aufgabe) auch wenn die
> z-Komponente der Fläche,
> durch die der Fluss des Vektorfeldes berechnet werden soll,
> Null ist.
>  
> >  

> > > > y) [mm]\in[/mm] D=[-1,1] [mm]\times[0,2], \hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)[/mm]
>  
> [mm]\hat{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)[/mm]
> ist der Normalenvektor auf dieser Fläche.
>  
> >  

> > >  

> > > Boden ist ein Quadrat in der xy-Ebene, deshalb ist in der
> > > Parameterisierung die z-Komponente Null und der
> > > Normalenvektor zeigt in die negative z-Richtung.
>  >  >  
> > > >  

> > > > [mm]\( \iint_{\partial K_{2}}[/mm] w [mm]\cdot \hat{n}[/mm] d
> > > > [mm]\mathcal{O}=\iint_{D}\left(\begin{array}{c}x \\ y^{2} \\ a\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)[/mm]
> >
> >
> > Hier müsste doch doch bei z, Null stehen oder nicht?
>  >  also 0*a=0
>  Nein, denn im Integral steht das Skalarprodukt aus dem
> Vektor des Vektorfeldes w und des Normalenvektors [mm]\hat{n}[/mm].
>  
> >  

> >
> > > > d(x, [mm]y)=\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{-1}^{1}-a[/mm] d x d
> > > > y
> > > > [mm]=\int \limits_{0}^{2}[-a x]_{-1}^{1}[/mm] d [mm]y=\int \limits_{0}^{2}-2[/mm]
> > > > a d y=[-2 a [mm]y]_{0}^{2}=-4[/mm] a
> >
> >
> > Hallo,
>  >  kannst du mir bitte erklären, wie du auf W kommst,
> wenn
> > du die Vorderseite berechnest? Ansonsten habe ich alles
> > verstanden.
>  >  
> > Da steht ja w=(x,0,z)
>  >  
> > Oben wurde  [mm]w(x,y,z)=(x,y^2,a)[/mm] vorgegeben. Wieso hat sich w
> > geändert?
>  >  
> > Also wie kommt man auf W=(x,0,a) ???????
>  >  Bitte rechnerisch!
>  Das Vektorfeld w hängt von x und y ab. Das Vektorfeld w
> ordnet jedem Punkt (x,y,z) des [mm]\IR^3[/mm] einen Vektor, den
> Vektor [mm]\vektor{x \\ y^2 \\ a}[/mm] zu.
> In der gesamten Fläche Vorderseite ist y=0, da Vorderseite
> in der yz-Ebene liegt.
> Wenn man das Vektorfeld w in der Fläche Vorderseite
> berechnet, setzt man y=0 in w ein:
> [mm]w(x,0,z)=\vektor{x \\ 0^2 \\ a} = \vektor{x \\ 0 \\ a}[/mm]
>
>
> Bei der Fläche Rücksteite ist konstant y=2, deshalb w in
> Rückseite:
>  [mm]w(x,2,z)=\vektor{x \\ 2^2 \\ a} = \vektor{x \\ 4 \\ a}[/mm]
>
> >  

> >
> > Liebe Grüße
>  >  
> Gru0
>  meili
>  >  
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]