Satz von Gauss < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Fr 17.07.2009 | | Autor: | physicus |
| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld
v(x,y,z) = (x+y+ [mm] \wurzel(z) [/mm] , [mm] x-y-z^{\bruch{5}{2}}, [/mm] z+2)
auf [mm] R^3. [/mm] Berechnen sie das Oberflächenintegral:
[mm] \integral_{S} [/mm] dS
über die Rotationsfläche
[mm] S=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2 +y^2 = e^{-2z} und 0 \le z \le 1 } [/mm] wobei [mm] \nu [/mm] das von der Rotationsachse weg zeigende Einheitsnormalenvektorfeld bezeichne. |
Hallo zusammen.
Ich habe nur eine kleine Frage zur obigen Aufgabe. Ich habe sie wie folgt gelöst:
nach Gauss:
[mm] \integral_{S} [/mm] dS = [mm] \integral_{V} [/mm] div(v) dV
für die Divergenz hab ich 1.
nun habe ich folgende Parametrisierung vorgenommen:
- Koordinatentransformation (Zylinderkoordinaten) somit erhalte ich folgende Integrale:
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{e^{-z}} \integral_{0}^{2\pi} [/mm] r [mm] d\phi [/mm] drdz
ich bekomm folgendes raus:
[mm] \pi/2 (1-e^{-2})
[/mm]
Aber leider stimmt das nicht ganz mit der Lösung überein. In den Lösungen gingen sie wie folgt vor:
Sie haben zuerst S zu einer geschlossenen, kompakten Fläche ergänzt:
[mm] S1=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2 \le 1, z=0\}
[/mm]
[mm] S2=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2 \le e^{-2}, z=1\}
[/mm]
und dann auch Gauss angewandt:
[mm] \integral_{S \cup S1 \cup S2} [/mm] dS = [mm] \integral_{V} [/mm] div(v) dV
Mit:
[mm] \integral_{S1} [/mm] dS = [mm] -2\pi
[/mm]
[mm] \integral_{S2} [/mm] dS = [mm] 3\pi e^{-2}
[/mm]
und für das Volumenintegral erhalten sie dasselbe. Aber nun zu meiner Frage:
Ihre Endlösung ist dann:
[mm] \pi/2 (1-e^{-2}) +2\pi [/mm] - [mm] 3\pi e^{-2}. [/mm] Dass sie S1 und S2 abziehen müssen ist mir klar, aber ich bekomme nicht das kleine schlussendlich. Für das Volumen haben sie ja das Gleiche. Irgendwie seh ich meinen Fehler nicht. Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte:) Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei das Vektorfeld
> v(x,y,z) = (x+y+ [mm]\wurzel(z)[/mm] , [mm]x-y-z^{\bruch{5}{2}},[/mm] z+2)
> auf [mm]R^3.[/mm] Berechnen sie das Oberflächenintegral:
>
> [mm]\integral_{S} [/mm] dS
> über die Rotationsfläche
> [mm]S=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2 +y^2 = e^{-2z} und 0 \le z \le 1 }[/mm]
> wobei [mm]\nu[/mm] das von der Rotationsachse weg zeigende
> Einheitsnormalenvektorfeld bezeichne.
> Hallo zusammen.
> Ich habe nur eine kleine Frage zur obigen Aufgabe. Ich
> habe sie wie folgt gelöst:
>
> nach Gauss:
>
> [mm]\integral_{S} [/mm] dS = [mm]\integral_{V}[/mm]
> div(v) dV
> für die Divergenz hab ich 1.
> nun habe ich folgende Parametrisierung vorgenommen:
> - Koordinatentransformation (Zylinderkoordinaten) somit
> erhalte ich folgende Integrale:
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{e^{-z}} \integral_{0}^{2\pi}[/mm]
> r [mm]d\phi[/mm] drdz
> ich bekomm folgendes raus:
> [mm]\pi/2 (1-e^{-2})[/mm]
> Aber leider stimmt das nicht ganz mit
> der Lösung überein. In den Lösungen gingen sie wie folgt
> vor:
> Sie haben zuerst S zu einer geschlossenen, kompakten
> Fläche ergänzt:
> [mm]S1=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2 \le 1, z=0\}[/mm]
Eine horizontale Kreisfläche mit Radius 1.
> [mm]S2=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2 \le e^{-2}, z=1\}[/mm]
Eine horizontale Kreisfläche mit Radius [mm] $e^{-1}$.
[/mm]
> und dann auch Gauss angewandt:
> [mm]\integral_{S \cup S1 \cup S2} [/mm] dS =
> [mm]\integral_{V}[/mm] div(v) dV
> Mit:
> [mm]\integral_{S1} [/mm] dS = [mm]-2\pi[/mm]
Die Fläche eines Kreises von Radius 1.
> [mm]\integral_{S2} [/mm] dS = [mm]3\pi e^{-2}[/mm]
Die Fläche eines Kreises von Radius [mm] $e^{-1}$.
[/mm]
> und für das
> Volumenintegral erhalten sie dasselbe. Aber nun zu meiner
> Frage:
> Ihre Endlösung ist dann:
> [mm]\pi/2 (1-e^{-2}) +2\pi[/mm] - [mm]3\pi e^{-2}.[/mm] Dass sie S1 und S2
> abziehen müssen ist mir klar, aber ich bekomme nicht das
> kleine schlussendlich. Für das Volumen haben sie ja das
> Gleiche. Irgendwie seh ich meinen Fehler nicht. Wäre froh,
> wenn mir jemand helfen könnte:) Danke!
Ich verstehe deine Frage nicht: wie du selbst schreibst, müssen die Beiträge von [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] abgezogen werden, und
[mm] \pi/2 (1-e^{-2}) - (-2\pi+3\pi e^{-2}) [/mm]
ist das angegebene Ergebnis. Was verstehst du nicht?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 So 19.07.2009 | | Autor: | physicus |
Ich habe bei meiner Rechnung S nicht ergänzt. Folglich ziehe ich von dem Volumenintegral auch S1 und S2.
Konkret: Wieso ergänzen sie S? Sollte es nicht auch ohne diese Ergänzung gehen(so wie ich es getan habe?)
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> Ich habe bei meiner Rechnung S nicht ergänzt. Folglich
> ziehe ich von dem Volumenintegral auch S1 und S2.
> Konkret: Wieso ergänzen sie S? Sollte es nicht auch ohne
> diese Ergänzung gehen(so wie ich es getan habe?)
Hallo physicus,
Der Satz von Gauß gilt nur für Raumgebiete
mit geschlossener Oberfläche. Wenn du ein
Fass ohne Boden und Deckel hast und z.B.
feststellst, dass die Wand dicht ist, dann hast
du noch nicht die volle Information darüber,
ob etwas ins Fass hinein oder heraus fliesst.
Wenn du nur über die Wandfläche integrieren
willst, kannst du für den entsprechenden
Fluss ein Integral aufstellen (ohne Gauß !).
Das wird aber im vorliegenden Beispiel wohl
eher etwas eklig.
Ach ja, noch eine Anmerkung: Für die
Berechnung mit Gauß erübrigen sich
Zylinderkoordinaten !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 20.07.2009 | | Autor: | physicus |
Danke für deine Antwort!
Allerdings habe ich doch auch eine geschlossene Fläche. Die beiden Fälle z = 0 und z = 1 treten bei mir auch auf, da ich z von 0 bis 1 integriere. oder nicht?
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Hallo physicus,
> Danke für deine Antwort!
> Allerdings habe ich doch auch eine geschlossene Fläche.
> Die beiden Fälle z = 0 und z = 1 treten bei mir auch auf,
> da ich z von 0 bis 1 integriere. oder nicht?
In z=0 bzw. z=1 befinden sich die Flächen [mm]S_{1}[/mm] bzw. [mm]S_{2}[/mm].
Gruß
MathePower
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> Danke für deine Antwort!
> Allerdings habe ich doch auch eine geschlossene Fläche.
> Die beiden Fälle z = 0 und z = 1 treten bei mir auch auf,
> da ich z von 0 bis 1 integriere. oder nicht?
Deine Hose reicht schätzungsweise von
z=0.1 m bis z=1.0 m , stellt aber trotzdem
(und abgesehen vom Hosenschlitz)
keine geschlossene Oberfläche dar ... 
LG Al
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