Satz von Lagrange < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den minimalen Abstand der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] zu der Geraden y=x-1 mit Hilfe des Sates von Lagrange. Minimieren Sie dazu die durch f(x,y,u,v) = [mm] (x-u)^2 [/mm] + [mm] (y-v)^2 [/mm] gegebene Funktion f: [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] unter der Nebenbedingungen [mm] y-x^2=0 [/mm] und v-u+1=0. |
Also hier mal was ich bis jetzt habe:
g(x,y) = [mm] y-x^2
[/mm]
h(u,v) = v-u+1
[mm] L(x,y,u,v,\lambda,\mu) [/mm] = f(x,y,u,v) - [mm] \lambda*g(x,y) [/mm] - [mm] \mu*h(u,v)
[/mm]
[mm] L(x,y,u,v,\lambda,\mu) [/mm] = [mm] (x-u)^2 [/mm] + [mm] (y-v)^2 [/mm] - [mm] \lambda*(y-x^2) [/mm] - [mm] \mu*(v-u+1)
[/mm]
[mm] L_{x}= [/mm] 0: [mm] 2(x-u)+2\lambda*x [/mm] =0
[mm] L_{y}= [/mm] 0: [mm] 2(y-v)-\lambda [/mm] =0
[mm] L_{u}= [/mm] 0: [mm] 2(u-x)+\mu [/mm] =0
[mm] L_{v}= [/mm] 0: [mm] 2(v-y)-\mu [/mm] =0
[mm] L_{\lambda}= [/mm] 0: [mm] x^2-y [/mm] =0
[mm] L_{\mu}= [/mm] 0: u-v-1 =0
[mm] \Rightarrow x=\bruch{1}{2}, y=\bruch{1}{4}, u=\bruch{7}{8}, v=-\bruch{1}{8}, \lambda=\bruch{3}{4}, \mu=-\bruch{3}{4}
[/mm]
Stimmt das bis hier hin???
Ab hier weiss ich leider nicht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den minimalen Abstand der Parabel [mm]y=x^2[/mm] zu
> der Geraden y=x-1 mit Hilfe des Sates von Lagrange.
> Minimieren Sie dazu die durch f(x,y,u,v) = [mm](x-u)^2[/mm] +
> [mm](y-v)^2[/mm] gegebene Funktion f: [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR[/mm] unter der
> Nebenbedingungen [mm]y-x^2=0[/mm] und v-u+1=0.
> Also hier mal was ich bis jetzt habe:
>
> g(x,y) = [mm]y-x^2[/mm]
> h(u,v) = v-u+1
> [mm]L(x,y,u,v,\lambda,\mu)[/mm] = f(x,y,u,v) - [mm]\lambda*g(x,y)[/mm] -
> [mm]\mu*h(u,v)[/mm]
> [mm]L(x,y,u,v,\lambda,\mu)[/mm] = [mm](x-u)^2[/mm] + [mm](y-v)^2[/mm] -
> [mm]\lambda*(y-x^2)[/mm] - [mm]\mu*(v-u+1)[/mm]
>
> [mm]L_{x}=[/mm] 0: [mm]2(x-u)+2\lambda*x[/mm] =0
> [mm]L_{y}=[/mm] 0: [mm]2(y-v)-\lambda[/mm] =0
> [mm]L_{u}=[/mm] 0: [mm]2(u-x)+\mu[/mm] =0
> [mm]L_{v}=[/mm] 0: [mm]2(v-y)-\mu[/mm] =0
> [mm]L_{\lambda}=[/mm] 0: [mm]x^2-y[/mm] =0
> [mm]L_{\mu}=[/mm] 0: u-v-1 =0
>
> [mm]\Rightarrow x=\bruch{1}{2}, y=\bruch{1}{4}, u=\bruch{7}{8}, v=-\bruch{1}{8}, \lambda=\bruch{3}{4}, \mu=-\bruch{3}{4}[/mm]
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> Stimmt das bis hier hin???
Ja
> Ab hier weiss ich leider nicht weiter...
Du bist doch fast fertig .....
FRED
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Muss ich die Werte jetzt in [mm] f(x,y,u,v,\lambda,\mu) [/mm] oder f' einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Muss ich die Werte jetzt in [mm]f(x,y,u,v,\lambda,\mu)[/mm] oder f'
> einsetzen?
Weder noch.
Der Punkt (1/2, 1/4) liegt auf dem Graphen der Parabel mit der Gl. [mm] y=x^2 [/mm] und der Punkt (7/8, -1/8) liegt auf der Geraden mit der Gl. y=x-1
Das sind die Punkte in denen der Abstand der beiden Graphen minimal ist.
FRED
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