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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Do 13.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Beispiel der Permutationsgruppe [mm] S_{3}(G) [/mm] für den Satz von Legrange
Satz: sei H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe der euklidischen Gruppe G und sei (G:H) der Index von H in G
|G|=|H| * (G:H) |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit dem Satz von Legrange (s.o.).
Ich möchte ihn anhand des Bsp. der Permutationsgruppe [mm] S_{3}(G) [/mm] noch einmal nachvollziehen.
dazu:
G= [mm] \{a,b,c,d,e,f\}, [/mm] wobei [mm] a=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }=id, b=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }, c=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }, d=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }, e=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }, f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 } \Rightarrow [/mm] |G|=6
e meint hier nicht das neutrale Element id.
H= [mm] \{a,b\} \Rightarrow [/mm] H ist Untergruppe, da [mm] a=id\in [/mm] G und [mm] a\circ a=b\circ b=id\in [/mm] G, [mm] a\circ b=b\circ a=b\in [/mm] G und [mm] a=a^{-1}\in [/mm] G, [mm] b=b^{-1}\in [/mm] G
außerdem: |H|=2
dann müsste für den Index von H nach Legrange doch gelten: |G| : |H| = (G:H) = 6:2 = 3 !?:
zur Überprüfung betrachtet man die Linksnebenklassen bzgl. H:
aH=H, bH=H, [mm] cH=\{c,d\}=\{d,c\}=dH, eH=\{e,f\}=\{f,e\}=fH \Rightarrow [/mm] G/H={H, cH, eH} [mm] \Rightarrow [/mm] (G:H)=3
Mmh, jetzt klappts ... eben bin ich irgendwie auf was anderes gekommen. Trotzdem wäre es nett, wenn jmd überprüfen könnte, ob ich das alles richtig verstanden hab.
Danke und viele Grüße,
Patrick
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Hallo,
das hast du richtig verstanden !
Lg
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