Satz von Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mi 10.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich hätte mal eine Frage zum Satz von Liouville, der laut Definition besagt:
Sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] eine holomorphe Funktion auf ganz [mm] \IC [/mm] und f sei beschränkt, d.h. es gibt ein c [mm] \in \IR [/mm] mit |f| [mm] \le [/mm] c , dann ist f konstant.
Aber wie sieht es bei der Möbiustransformation aus mit:
f(z) = [mm] \bruch{z-i}{z+i} [/mm] , die die obere Halbebene auf den Kreis mit Radius <1 abbildet. Also: f: [mm] \{z\in \IC| Im(z)>0\} \to U_1{(0)}
[/mm]
Diese Abbildung ist ja auf ihren Defininitionsbereich holomorph und |f|<1 aber alles andere als konstant!
Ist also bei dem Satz von Liouville wichtig, dass es sich bei f um eine Funktion handelt, die auf GANZ [mm] \IC [/mm] holomorph ist?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich hätte mal eine Frage zum Satz von Liouville, der laut
> Definition besagt:
> Sei [mm]f:\IC\to\IC[/mm] eine holomorphe Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] und
> f sei beschränkt, d.h. es gibt ein c [mm]\in \IR[/mm] mit |f| [mm]\le[/mm] c
> , dann ist f konstant.
> Aber wie sieht es bei der Möbiustransformation aus mit:
>
> f(z) = [mm]\bruch{z-i}{z+i}[/mm] , die die obere Halbebene auf den
> Kreis mit Radius <1 abbildet. Also: f: [mm]\{z\in \IC| Im(z)>0\} \to U_1{(0)}[/mm]
>
> Diese Abbildung ist ja auf ihren Defininitionsbereich
> holomorph und |f|<1 aber alles andere als konstant!
>
> Ist also bei dem Satz von Liouville wichtig, dass es sich
> bei f um eine Funktion handelt, die auf GANZ [mm]\IC[/mm] holomorph
> ist?
Genauso ist es.
(Du kannst uebrigens zu jedem einfach zusammenhaengenden Gebiet $G [mm] \subseteq \IC$, [/mm] welches nicht ganz [mm] $\IC$ [/mm] ist, eine biholomorphe Funktion $G [mm] \to \mathbb{D}$ [/mm] finden, wobei [mm] $\mathbb{D}$ [/mm] der Einheitskreis ist; das ist der Riemannsche Abbildungssatz.)
LG Felix
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