Satz von Mittag-Leffler < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe totale Schwierigkeiten mit dem Satz von Mittag-Leffler.
Der Satz heißt bei mir so:
Es sei [mm] (a_k) [/mm] eine Folge verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt in [mm] \IC [/mm] , [mm] 0=|a_0|\le|a_1|\le...
[/mm]
Zu jedem [mm] a_k [/mm] sei ein Hauptteil [mm] h_k(z)=\summe_{m=1}^{n_k}\bruch{c_{km}}{(z-a_k)^m} [/mm] , k=0,1,2,... gegeben.
Dann gilt:
1) Es gibt Polynome [mm] P_k [/mm] , so dass die Reihe [mm] f=h_0+\summe_{k=1}^{\infty}(h_k-P_k) [/mm] in [mm] \IC [/mm] kompakt konvergiert.
2) f ist meromorph in [mm] \IC [/mm] und hat Pole in den [mm] a_k [/mm] mit Hauptteilen [mm] h_k. [/mm] Sonst ist sie holomorph.
Also ehrlich gesagt, hab ich keine Ahnung, was der Satz mir sagen will.
Die Darstellung des Hauptteils kann ich mir noch einigermaßen erklären: Wenn ich einen Pol der Ordnung p habe, dann bricht der Hauptteil der Laurent_Reihe um die Singularität nach p Gliedern ab, ich hab dann im Satz quasi in [mm] a_k [/mm] einen Pol der Ordnung [mm] n_k [/mm] . Allerdings glaube ich, dass da ein Fehler im Satz ist, es muss in der Summe bestimmt [mm] c_{\red{-}km} [/mm] heißen, weil
[mm] h_k(z)=\summe_{m=1}^{n_k}\bruch{c_{-km}}{(z-a_k)^m}=\summe_{m=-1}^{-n_k}\bruch{c_{km}}{(z-a_k)^{-m}}=\summe_{m=-1}^{-n_k}c_{km}(z-a_k)^m [/mm] was ja die "normale" Darstellung für einen Hauptteil ist.
Was kann ich mit diesem Satz anfangen, was sind diese Polynome [mm] P_k [/mm] ?
Ich hab jetzt hier ein Beispiel, aber auch daraus werde ich nicht schlau:
Es sei [mm] (a_k) [/mm] eine Folge verschiedener komplexer Zahlen, [mm] 0=|a_0|\le|a_1|\le... [/mm] , [mm] lim(a_k)=\infty [/mm] , [mm] c_k\not=0 [/mm] komplex.
Gesucht ist eine in [mm] \IC [/mm] meromorphe Funktion f, die genau in den [mm] a_k [/mm] einfache Pole mit Residuum [mm] c_k [/mm] hat.
Für $k [mm] \ge [/mm] 1$ gilt:
[mm] \bruch{1}{z-a_k}=-\bruch{1}{a_k}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{a_k}}=-\bruch{1}{a_k}*\summe_{m=0}^{\infty}(\bruch{z}{a_k})^m [/mm] , [mm] |z|<|a_m| [/mm] , [mm] \epsilon_k>0 [/mm] , [mm] \summe_{}^{}\bruch{\epsilon_k}{|c_k|}<+\infty
[/mm]
Wählt man [mm] n_k [/mm] so groß, dass [mm] |\bruch{1}{z-a_k}+\bruch{1}{a_k}*\summe_{m=0}^{n_k}(\bruch{z}{a_k})^m|<\bruch{\epsilon_k}{|c_k|} [/mm] für alle [mm] |z|<\bruch{1}{\epsilon}|a_k| [/mm] , dann ist die Funktion [mm] f(z)=\bruch{c_0}{z}+\summe_{k=1}^{\infty}c_k(\bruch{1}{z-a_k}+\summe_{m=0}^{n_k}\bruch{z^m}{a_k^{m+1}}) [/mm] eine Lösung.
Also bei diesem Beispiel hier versteh ich auch absolut nur Bahnhof.
Was ist das alles, was macht man da, wo kommt dieses [mm] \epsilon [/mm] her, wieso kann man [mm] n_k [/mm] plötzlich wählen wenn es vorher die Ordnung des Pols war, ...
Ich versteh wirklich nichts ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mi 14.07.2010 | | Autor: | zorin |
Die Idee hinter dem Satz ist der Begriff "Hauptteilverteilung".
Hat man eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge, dann hat die Funktion in jeder Polstelle einen Hauptteil, die Polstellen haben keinen Häufungspunkt in der offenen Menge, und außerhalb der Polstellenmenge ist die Funktion holomorph.
Die Hauptteile sind alle endlich, d.h. haben jeweils nur endlich viele Glieder (Polynom in [mm] (z-a)^{-1} [/mm] für einen Entwicklungspunkt [mm] a [/mm]), da die Entwicklungspunkte Polstellen sind.
Nun kann man fragen, ob man zu einer gegebenen Verteilung von Hauptteilen eine passende meromorphe Funktion mit eben diesen Hauptteilen finden kann. Und weiter kann man fragen, ob in einer gegebenen offenen Menge jede Hauptteilverteilung eine Lösung in diesem Sinne hat.
Eine Hauptteilverteilung auf einer offenen Menge ist eine Menge von endlichen Hauptteilen, wobei die Entwicklungspunkte der Hauptteile keinen Häufungspunkt in der offenen Menge haben dürfen.
Eine meromorphe Funktion liefert also eine Hauptteilverteilung.
Eine Hauptteilverteilung hat eine Lösung, wenn es eine (in dieser offenen Menge) meromorphe Funktion gibt, die genau die Hauptteile aus der Hauptteilverteilung hat, d.h. die Pole der Funktion sind genau die einzelnen Entwicklungspunkte der Hauptteile aus der Hauptteilverteilung und die Hauptteile stimmen auch überein.
Der Satz von Mittag-Leffler sagt nun, dass in [mm] \IC [/mm] jede Hauptteilverteilung eine Lösung besitzt bzw. jede Hauptteilverteilung Hauptteilverteilung einer meromorphen Funktion ist.
Dies gilt nicht nur für [mm] \IC [/mm], sondern für jede offene Menge in [mm] \IC [/mm].
> 1) Es gibt Polynome [mm]P_k[/mm] , so dass die Reihe
> [mm]f=h_0+\summe_{k=1}^{\infty}(h_k-P_k)[/mm] in [mm]\IC[/mm] kompakt
> konvergiert.
> 2) f ist meromorph in [mm]\IC[/mm] und hat Pole in den [mm]a_k[/mm] mit
> Hauptteilen [mm]h_k.[/mm] Sonst ist sie holomorph.
>
Wenn nur endlich viele Hauptteile vorgegeben sind, dann nimmt man einfach die Summe dieser Hauptteile als Lösung.
Hat man aber unendlich viele, dann ist nicht klar, ob die Reihe konvergiert. Was man dann tun kann, man zieht von den Hauptteilen passende Polynome ab, so dass die Reihe konvergiert. Die Reihe hat dann immernoch die gleichen Hauptteile in den Polstellen, die Polynome ändern das nicht. Das ist dann die gesuchte Lösung.
Statt mit Hauptteilen kann man das Ganze auch etwas anders formulieren.
Nimmt man zu einer offenen Menge [mm] U [/mm] eine offene Überdeckung [mm] \{U_j\} [/mm] und in [mm] U_j [/mm] meromorphe Funktionen [mm] f_j [/mm], so dass die Differenzen [mm] f_j-f_k [/mm] holomorph sind in [mm] U_j \cap U_k [/mm], dann ist eine Lösung dieser Verteilung eine in [mm] U [/mm] meromorphe Funktion [mm] f [/mm], so dass [mm] f-f_j [/mm] holomorph ist in [mm] U_j [/mm].
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