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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Satz von Moivre-Laplace

Satz von Moivre-Laplace < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Satz von Moivre-Laplace: Problem am Beweisende

Status:	(Frage) reagiert/warte auf Reaktion
Datum:	17:38 Di 25.08.2015
Autor:	Jesgaroth

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt, aber keine wirkliche Antwort bekommen:
http://matheplanet.com/default3.html?topic=210693=100

Hallo,

ich hänge am Ende meines Beweises zum Satz von Moivre-Laplace.
Und zwar will ich zeigen, dass

F_{Z_n}(x) \ = \ P \left( \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le x \right) \ &= \ P \left( X_n \le np + x \ \sqrt{np(1-p)} \right) \\[2ex]
&= \sum_{k=1}^{n} \ \binom{n}{k} \ p^k \ (1-p)^{n-k} \ \operatorname{\mathbf{I}}_{\{k \ \le \ np + x\sqrt{np(1-p)}\} }

konvergiert gegen eine Standardnormalverteilung. Ich bin auch sehr gut voran gekommen mit der Stirling-Formel und Taylor-Approximationen, jedoch hänge ich an folgendem Punkt:

P\left( \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le x \right) \ \underset{n\to\infty}{\sim} \ \ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{npq}} \exp\left\{-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right\} \ \operatorname{\mathbf{I}}_{\{k \ \le \ np + x\sqrt{npq}\} }

Und dies ist doch nun eine Riemann-Summe, d.h.

setzt \ man \ nun \ $z_k=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ \ und \  sei \ $k_x=np+x\sqrt{npq}$, \ so \ ergibt \ sich \ asymptotisch \ die \ Riemann-Summe
\[
= \sum_{k=1}^{\lfloor k_x \rfloor} \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{z_{k}^{2}}{2}\right\} \underbrace{(z_{k+1}-z_k)}_{\frac{1}{\sqrt{npq}}}
\]
welche nun eben für $n\to\infty$ gegen das folgende Integral strebt:
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\lfloor x \rfloor} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{z^{2}}{2}\right\} \ dz
\end{align*}

Aber ich möchte ja diese Abrundungsfunktion loswerden im Integral.... Nur wie?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!!!

Grüße
Jesgaroth

Bezug

Satz von Moivre-Laplace: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	12:37 Do 27.08.2015
Autor:	DieAcht