Satz von Moivre < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Do 29.05.2008 | | Autor: | TheQ |
| Aufgabe | | Drücken Sie cos(5phi) und sin(5phi) als Funktionen von cos(phi) und sin(phi) für beliebige Winkel phi aus. |
Dies soll man mit Hilfe des Satzes von Moivre lösen, ich stehe allerdings komplett auf dem Schlauch, wie das geht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist cos(t) +i sin(t) = exp(it)
und (Moivre)
Es ist cos(nt) +i sin(nt) = exp(nit) = [mm] (exp(it))^n
[/mm]
Also cos(5t) +i sin(5t) = exp(5it) = [mm] (exp(it))^5 [/mm] = (cos(t) +i [mm] sin(t))^5.
[/mm]
Jetzt rechts ausmultiplizieren und dan Real- und Imaginärteil vergleichen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 29.05.2008 | | Autor: | TheQ |
Ich verstehe nicht ganz was das heisst. Was ist denn plötzlich t? Ist das phi? Und was bedeutet exp (it)? Bis jetzt aber vielen Dank für die schnelle Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
t ist phi
exp(it) ist e hoch it
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Di 03.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Irgendwie kriege ich das trotzdem nicht hin. Ich multipliziere es in einer riesigen Rechnung aus. Als Lösung sollte dabei folgendes raus kommen:
cos(5phi) = [mm] cos^5(phi) [/mm] - [mm] 10cos^3(phi)sin^2(phi) [/mm] + [mm] 5cos(phi)sin^4(phi)
[/mm]
und
sin(5phi) = [mm] cos^4(phi)sin(phi) [/mm] - [mm] 10cos^2(phi)sin^3(phi) [/mm] + [mm] sin^5(phi)
[/mm]
Nur habe ichkeinen blassen schimmer wie ich vom ausmultiplizierten
(cos(phi) + [mm] i*sin(phi))^5 [/mm] auf diese Resultate komme. Und warum fehlt in beiden Lösungen das i?
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> Irgendwie kriege ich das trotzdem nicht hin. Ich
> multipliziere es in einer riesigen Rechnung aus. Als Lösung
> sollte dabei folgendes raus kommen:
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> cos(5phi) = [mm]cos^5(phi)[/mm] - [mm]10cos^3(phi)sin^2(phi)[/mm] +
> [mm]5cos(phi)sin^4(phi)[/mm]
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> und
>
> sin(5phi) = [mm]cos^4(phi)sin(phi)[/mm] - [mm]10cos^2(phi)sin^3(phi)[/mm] +
> [mm]sin^5(phi)[/mm]
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> Nur habe ichkeinen blassen schimmer wie ich vom
> ausmultiplizierten
>
> (cos(phi) + [mm]i*sin(phi))^5[/mm] auf diese Resultate komme. Und
> warum fehlt in beiden Lösungen das i?
Hallo,
wenn Du die Formel v. Moivre kennst, weißt Du, daß für z=r(cost+isint) gilt
[mm] z^n=r^n(cos(nt)+isin(nt))=r^ncos(nt)+ir^nsin(nt)
[/mm]
Du kannst [mm] z^n [/mm] aber auch durch fleißiges Multiplizieren oder Verwendung des binomischen Satzes bekommen.
Du hast dann eine Summe, deren Summanden Produkte von Potenzen des sin und cos und ggf. der Zahl i sind.
Sortiere nun so, daß Du alle Ausdrücke mit i zusammen faßt und alle ohne: [mm] z^n= [/mm] (...) + i*(...).
Und nun mach einen Koeffizientenvergleich mit dem Resultat, welches Du mit der Moivreformel erhalten hast.
Gruß v. Angela
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