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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Joergi |
Und hier noch ein letztes
Gegeben sei das Polynom [mm]p:\IC\rightarrow\IC[/mm] durch [mm]p(z):=z^3+8z-1[/mm].
(a) Zeigen Sie, dass alle Nullstellen von [mm]p[/mm] in [mm]B(0,3)[/mm] liegen.
(b) Wieviele Nullstellen von [mm]p[/mm] liegen in [mm]B(0,1)[/mm]?
(c) Bestimmen Sie ein [mm]r$>$0[/mm], so dass [mm]B(0,r)[/mm] keine Nullstellen von [mm]p[/mm] enthält.
Also zu (a) habe ich, dass 0 dreifache Nullstelle ist, aber bei (b) erhalte ich, dass [mm]\bruch{1}{8}[/mm] einfache Nullstelle ist. Da ich zwei so verschiedene Lösungen habe weiß ich nicht, wie ich an die letzte Aufgabe herangehen soll. Wenn die Nullstellen bei[mm]\bruch{1}{8}[/mm] stimmt, dann würde ich [mm]r=\bruch{1}{9}[/mm] wählen.
Auch hier wäre ich sehr dankbar für jede Hilfe. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Do 29.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Joergi,
den Satz vom Rouché kannte ich bisher nur vom Namen her, da ich aber auch gerade für Funktionentheorie lerne, habe ich ihn mir mal angesehen (ich schreibe das, damit du die Antwort als von einem Anfänger stammende einstufst).
Also, hier der Satz von Rouché (gefunden in diesem ![[]](/images/popup.gif) Skript, Abschnitt 5.1, Seite 61 (interne Zählung)):
Wenn $f$ und $g$ holomorph innerhalb und auf einer einfach geschlossenen Kurve C sind und auf ganz C gilt, dass $|g(z)<|f(z)$ ist, so haben $f+g$ und $f$ innerhalb von C die gleiche Anzahl von Nullstellen. ("Kleine Störungen ändern das prinzipielle Nullstellenverhalten nicht.")
Das anschließende Beispiel dort ist sehr aufschlußreich.
> Gegeben sei das Polynom [mm]p:\IC\rightarrow\IC[/mm] durch
> [mm]p(z):=z^3+8z-1[/mm].
> (a) Zeigen Sie, dass alle Nullstellen von [mm]p[/mm] in [mm]B(0,3)[/mm]
> liegen.
> (b) Wieviele Nullstellen von [mm]p[/mm] liegen in [mm]B(0,1)[/mm]?
> (c) Bestimmen Sie ein [mm]r$>$0[/mm], so dass [mm]B(0,r)[/mm] keine
> Nullstellen von [mm]p[/mm] enthält.
>
> Also zu (a) habe ich, dass 0 dreifache Nullstelle ist, aber
Hier hast du bereits den Satz angewandt, deine Aussage gilt aber so nur für die "Hilfsfunktion" $f$, nicht für $p$. 0 ist ja nicht Nullstelle von $p$. Was sich aber mit deiner Aussage über $p$ sagen läßt, ist, dass sie innerhalb $B(0,3)$ ebenfalls 3 Nullstellen hat.
Hier meine Rechnung um sicher zu gehen, dass ich es selbst richtig verstanden habe:
Ich setze [mm] $f(z):=z^3$ [/mm] und $g(z):=8z-1$. Dann gilt für $z$, die auf der Kurve $C: |z|=3$ liegen:
[mm] $|g(z)|=|8z-1|\le8|z|+1=25<27=|z^3|=|f(z)|$
[/mm]
Der Satz von Rouché ist also anwendbar, f(z) und p(z) haben also innerhalb von $B(0,3)$ dieselbe Anzahl von Nullstellen.
f(z) hat nun offenbar drei Nullstellen (die dreifache Nullstelle 0, siehe deine Antwort), p(z) hat innerhalb $B(0,3)$ also ebenfalls 3 Nullstellen.
Dies sind nach dem Fundamentalsatz nun auch Nullstellen von p.
> bei (b) erhalte ich, dass [mm]\bruch{1}{8}[/mm] einfache Nullstelle
> ist. Da ich zwei so verschiedene Lösungen habe
Hier verwechselst du meiner Meinung nach auch wieder die Hilfsfunktion und die eigentliche Funktion p.
Für den Satz von Rouché setzt du ja wahrscheinlich (genau umgekehrt wie in a) $f(z):=8z-1$ und [mm] $g(z):=z^3$
[/mm]
Innerhalb von |z|=1 ist dann 1/8 die einzige Nullstelle von f, und alles, was wir dann über p sagen können, ist, dass p in $B(0,1)$ auch nur eine einzige Nullstelle hat. Diese ist nicht notwendig 1/8 (und in diesem Fall --wie man durch Einsetzen sieht-- ganz sicher nicht).
> weiß ich
> nicht, wie ich an die letzte Aufgabe herangehen soll. Wenn
> die Nullstellen bei[mm]\bruch{1}{8}[/mm] stimmt, dann würde ich
> [mm]r=\bruch{1}{9}[/mm] wählen.
Ich fasse noch mal die Ergebnisse aus a) und b) zusammen:
p hat in $B(0,3)$ drei Nullstellen, in $B(0,1)$ nur noch eine Nullstelle.
Da 0 keine Nullstelle von p ist, wird es sicher auch einen Ball $B(0,r)$ geben, so dass p dort gar keine Nullstelle hat.
Ich setze wie in b): $f(z):=8z-1$, [mm] $g(z)=z^3$ [/mm] und betrachte --wie du vorgeschlagen hast-- die Kurve $C: |z|=1/9$
[mm] $|g(z)|=|z^3|=1/9^3<1/9=|8*\bruch{1}{9}-1|=|8z-1|=|f(z)|$
[/mm]
Also hat p in [mm] $B\left(0,\bruch{1}{9}\right)$ [/mm] dieselbe Anzahl Nullstellen wie f -- da f aber keine Nullstellen innerhalb dieser Kreisscheibe hat (die einzige Nullstelle hat ja den Abstand 1/8 von 0), hat p in [mm] $B\left(0,\bruch{1}{9}\right)$ [/mm] keine Nullstellen.
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich und vor allem richtig.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Joergi |
Danke für deine schnelle Antwort.
Ich habe da wohl so einiges durcheinander gebracht und muss mir das vor der Wiederholungsklausur wohl noch mal alles anschauen.
Deine Erklärungen sind aber sehr verständlich und offensichtlich richtig.
Danke noch mal.
Gruß Jörg
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