Satz von Rouche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 19.09.2008 | | Autor: | gnom |
| Aufgabe | | [mm]f(z) = z^8-5z^5-2z+1 ; G= B_1(0)[/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dem Satz von Rouche.
Es sei hier [mm]g(z) = 5z^2[/mm] warum wähle ich genau dieses g(z) worauf muss ich bei der Auswahl von g(z) achten?
Die Funktionen f und g sind holomorph auf [mm] B_1(0)[/mm] und nicht gleich 0.
Für z Element [mm]B_1(0)[/mm] gilt dann nach Rouche:
[mm]|f(z)-g(z)|= |z^8-5z^5-2z+1-5z^2|=|z^8-2z+1|<=|z^8|+2|z|+1=4[/mm]
Warum wähle ich hier z=1
|g(z)|=5
Daraus folgt :
|f+g|<=|f|+|g|
Was besagt jetzt der Satz von Rouche?
Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Fr 19.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(z) = z^8-5z^5-2z+1 ; G= B_1(0)[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit dem Satz von Rouche.
>
> Es sei hier [mm]g(z) = 5z^2[/mm] warum wähle ich genau dieses g(z)
> worauf muss ich bei der Auswahl von g(z) achten?
>
> Die Funktionen f und g sind holomorph auf [mm]B_1(0)[/mm] und nicht
> gleich 0.
>
> Für z Element [mm]B_1(0)[/mm] gilt dann nach Rouche:
>
> [mm]|f(z)-g(z)|= |z^8-5z^5-2z+1-5z^2|=|z^8-2z+1| \le|z^8|+2|z|+1=4[/mm]
Das ist Unfug !
Du hast :
[mm]|f(z)-g(z)|= |z^8-5z^5-2z+1-5z^2|=|z^8-2z+1|<=|z^8|+2|z|+1=4[/mm] für z [mm] \in \partial B_1(0),
[/mm]
also |f(z) -g(z)| < 5 = |g(z)| für z [mm] \in \partial B_1(0)
[/mm]
>
> Warum wähle ich hier z=1
Nein , es war z [mm] \in \partial B_1(0) [/mm] , also|z| = 1.
>
> |g(z)|=5
>
> Daraus folgt :
> |f+g|<=|f|+|g|
> Was besagt jetzt der Satz von Rouche?
Rouche besagt jetzt: fund g haben in [mm] B_1(0) [/mm] gleich viele Nullstellen ( mit Vielfachheiten gerechnet)
g hat 2 Nullstellen in [mm] B_1(0) [/mm] (Vielfachheit !), also hat f ebenfalls 2 Nullstellen in
[mm] B_1(0)
[/mm]
FRED
>
> Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 19.09.2008 | | Autor: | gnom |
> Du hast :
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> [mm]|f(z)-g(z)|= |z^8-5z^5-2z+1-5z^2|=|z^8-2z+1|<=|z^8|+2|z|+1=4[/mm]
> für z [mm]\in \partial B_1(0),[/mm]
>
> also |f(z) -g(z)| < 5 = |g(z)| für z [mm]\in \partial B_1(0)[/mm]
>
> >
> > Warum wähle ich hier z=1
>
> Nein , es war z [mm]\in \partial B_1(0)[/mm] , also|z| = 1.
>
>
> >
> > |g(z)|=5
> >
> > Daraus folgt :
> > |f+g|<=|f|+|g|
> > Was besagt jetzt der Satz von Rouche?
>
> Rouche besagt jetzt: fund g haben in [mm]B_1(0)[/mm] gleich viele
> Nullstellen ( mit Vielfachheiten gerechnet)
>
> g hat 2 Nullstellen in [mm]B_1(0)[/mm] (Vielfachheit !), also hat f
> ebenfalls 2 Nullstellen in
> [mm]B_1(0)[/mm]
Also ich verstehe wenn g(z)= [mm] |5z^5|=0 [/mm] für z=0.
Warum hat g zwei Nullstellen.
In meiner Lösung der Aufgabe heißt es sogar es seien 5 Nullstellen. (mit Vielfachheit).
Vielleicht kann mir jemand das mit der Vielfachheit erklären.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 19.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Du hast :
> >
> > [mm]|f(z)-g(z)|= |z^8-5z^5-2z+1-5z^2|=|z^8-2z+1|<=|z^8|+2|z|+1=4[/mm]
> > für z [mm]\in \partial B_1(0),[/mm]
> >
> > also |f(z) -g(z)| < 5 = |g(z)| für z [mm]\in \partial B_1(0)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Warum wähle ich hier z=1
> >
> > Nein , es war z [mm]\in \partial B_1(0)[/mm] , also|z| = 1.
> >
> >
> > >
> > > |g(z)|=5
> > >
> > > Daraus folgt :
> > > |f+g|<=|f|+|g|
> > > Was besagt jetzt der Satz von Rouche?
> >
> > Rouche besagt jetzt: fund g haben in [mm]B_1(0)[/mm] gleich viele
> > Nullstellen ( mit Vielfachheiten gerechnet)
> >
> > g hat 2 Nullstellen in [mm]B_1(0)[/mm] (Vielfachheit !), also hat f
> > ebenfalls 2 Nullstellen in
> > [mm]B_1(0)[/mm]
>
>
> Also ich verstehe wenn g(z)= [mm]|5z^5|=0[/mm] für z=0.
> Warum hat g zwei Nullstellen.
Oben hast Du geschrieben $ g(z) = [mm] 5z^2 [/mm] $, jetzt schreibst Du $ g(z) = [mm] 5z^5 [/mm] $
>
> In meiner Lösung der Aufgabe heißt es sogar es seien 5
> Nullstellen. (mit Vielfachheit).
Dann muß wohl $ g(z) = [mm] 5z^5 [/mm] $ gemeint sein
> Vielleicht kann mir jemand das mit der Vielfachheit
> erklären.
FRED
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