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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich bin gerade dabei Prüfungsprotokolle zu bearbeiten und in einem Protokoll ist nach dem Satz von Stokes und seiner Bedeutung gefragt.
Wir haben am Ende der Analysis III Vorlesung 3 verschiedene Sätze zum Thema Stokes aufgeschrieben und nun weiß ich nicht, welcher von denen "der" Satz von Stokes ist.
Wir haben folgende Sätz bearbeitet:
1. Inregralsatz von Stokes :
Sei M eine orientierte n - dim. Untermannigfaltigkeit des [mm] \mathbb R^N [/mm], sei U eine offene Teilmenge des [mm] \mathbb R^N [/mm] mit [mm] M \subseteq U [/mm] und [mm] \omega [/mm] eine glatte (n-1) - Form auf U.
Sei X eine abgeschlossene n - dim Untermannigfaltigkeit von M mit Rand. X sei kompakt und [mm] \partial K [/mm] trage die induzierte Orientierung.
Dann ist [mm] \integral_X d \omega = \integral_{ \partial X } \omega [/mm].
2. Klassische Version des Satzes von Stoke :
Sei U offen im [mm] \mathbb R^3 , M \subset U [/mm] eine orientierte 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit und [mm] a: U \to \mathbb R^3 [/mm] ein glattes Vektorfeld. Sei X eine kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand von M mit dim X = 2.
Dann ist [mm] \integral_X rot ad \vec s = \integral_{ \partail X } ad \vec s [/mm]
3. Satz fvon Stikes für geschlossene Mannigfaltigkeiten
Sei U offen in [mm] \mathbb R^N [/mm], und [mm] \omega [/mm] eine glatte (n-1)-Form auf U. Sei [mm] M \subset U [/mm] eine kompakte orientierte n - dim Untermannigfaltigkeit.
Dann ist [mm] \integral_M d \omega = 0 [/mm]
Welcher diese Sätze ist es denn?
Da mit diesen beiden Sätzen die Vorlesung endet und keine Bemerkung zu der Bedeutung angegeben ist, wüsste ich jetzt auch nicht, welche Bedeutung des Satz hat.
Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
> Guten Tag!
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> Ich bin gerade dabei Prüfungsprotokolle zu bearbeiten und
> in einem Protokoll ist nach dem Satz von Stokes und seiner
> Bedeutung gefragt.
> Wir haben am Ende der Analysis III Vorlesung 3
> verschiedene Sätze zum Thema Stokes aufgeschrieben und nun
> weiß ich nicht, welcher von denen "der" Satz von Stokes
> ist.
> Wir haben folgende Sätz bearbeitet:
>
> 1. Inregralsatz von Stokes :
>
> Sei M eine orientierte n - dim. Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\mathbb R^N [/mm], sei U eine offene Teilmenge des [mm]\mathbb R^N[/mm]
> mit [mm]M \subseteq U[/mm] und [mm]\omega[/mm] eine glatte (n-1) - Form auf
> U.
> Sei X eine abgeschlossene n - dim Untermannigfaltigkeit
> von M mit Rand. X sei kompakt und [mm]\partial K[/mm] trage die
> induzierte Orientierung.
> Dann ist [mm]\integral_X d \omega = \integral_{ \partial X } \omega [/mm].
>
> 2. Klassische Version des Satzes von Stoke :
>
> Sei U offen im [mm]\mathbb R^3 , M \subset U[/mm] eine orientierte
> 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit und [mm]a: U \to \mathbb R^3[/mm]
> ein glattes Vektorfeld. Sei X eine kompakte
> Untermannigfaltigkeit mit Rand von M mit dim X = 2.
> Dann ist [mm]\integral_X rot ad \vec s = \integral_{ \partail X } ad \vec s[/mm]
>
> 3. Satz fvon Stikes für geschlossene Mannigfaltigkeiten
>
> Sei U offen in [mm]\mathbb R^N [/mm], und [mm]\omega[/mm] eine glatte
> (n-1)-Form auf U. Sei [mm]M \subset U[/mm] eine kompakte orientierte
> n - dim Untermannigfaltigkeit.
> Dann ist [mm]\integral_M d \omega = 0[/mm]
>
> Welcher diese Sätze ist es denn?
Der unter 1. genannte Satz ist der richtige.
In 2. wurde der Stokesche Integralsatz auf den [mm]\IR^{3}[/mm] übertragen.
3. ist eine Folgerung aus dem Stokeschen Integralsatz.
>
> Da mit diesen beiden Sätzen die Vorlesung endet und keine
> Bemerkung zu der Bedeutung angegeben ist, wüsste ich jetzt
> auch nicht, welche Bedeutung des Satz hat.
> Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann!
>
> Vielen Dank!
> Viele Grüße
> Irmchen
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Antwort! Jetzt weiß ich schonmal welcher Satz der Richtige ist. Da wir, wie bereits erwähnt die Sätze ganz zum Schluss und sogar ohne Beweise , ganz kurz angeschnitten haben, verstehe ich nicht wirklich die Bedeutung des Satzes :-(.
Also, wann benutz ich den Satz explizit und warum?
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
> Vielen Dank für die Antwort! Jetzt weiß ich schonmal
> welcher Satz der Richtige ist. Da wir, wie bereits erwähnt
> die Sätze ganz zum Schluss und sogar ohne Beweise , ganz
> kurz angeschnitten haben, verstehe ich nicht wirklich die
> Bedeutung des Satzes :-(.
>
> Also, wann benutz ich den Satz explizit und warum?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Satz von Stokes
>
> Viele Grüße
> Irmchen
Gruß
MathePower
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