Satz von Taylor < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mo 28.07.2014 | | Autor: | tonno |
Hallo allerseits,
der Satz von Taylor sei folgendermaßen definiert:
Sei [mm] I\subseteq\IR [/mm] offenes Intervall, f (n+1)-mal stetig differenzierbar auf I und [mm] x_0\in [/mm] I. Dann gilt: für alle [mm] x\in [/mm] I gibt es ein [mm] \beta\in(x_0,x) [/mm] bzw. [mm] \beta\in(x,x_0) [/mm] sodass:
f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)+\bruch{f^{n+1}(\beta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
Wie kommt man von dieser Definition zu der Schlussfolgerung:
f(x+h) = f(x) + hf'(x)+ [mm] \bruch{h^2}{2}f''(\beta)
[/mm]
für ein [mm] \beta\in[x,x+h]?
[/mm]
Erst dachte Ich, [mm] x_0=x+h [/mm] setzen, würde helfen. Tut es aber leider nicht. irgendwie stehe Ich hier auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mo 28.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo allerseits,
> der Satz von Taylor sei folgendermaßen definiert:
>
> Sei [mm]I\subseteq\IR[/mm] offenes Intervall, f (n+1)-mal stetig
> differenzierbar auf I und [mm]x_0\in[/mm] I. Dann gilt: für alle
> [mm]x\in[/mm] I gibt es ein [mm]\beta\in(x_0,x)[/mm] bzw. [mm]\beta\in(x,x_0)[/mm]
> sodass:
>
> f(x) =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)+\bruch{f^{n+1}(\beta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> Wie kommt man von dieser Definition zu der
> Schlussfolgerung:
>
> f(x+h) = f(x) + hf'(x)+ [mm]\bruch{h^2}{2}f''(\beta)[/mm]
>
> für ein [mm]\beta\in[x,x+h]?[/mm]
>
> Erst dachte Ich, [mm]x_0=x+h[/mm] setzen, würde helfen. Tut es aber
> leider nicht. irgendwie stehe Ich hier auf dem Schlauch.
Setze z:=x+h und [mm] x_0:=x
[/mm]
Dann
[mm] f(x+h)=f(z)=f(x_0)+(z-x_0)f'(x_0)+\bruch{(z-x_0)^2}{2}f''(\beta)=f(x)+hf'(x)+\bruch{h^2}{2}f''(\beta)
[/mm]
mit [mm] \beta [/mm] zwischen x und x+h.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Mo 28.07.2014 | | Autor: | tonno |
Danke dir! Ein klassisches "man sieht den Wald vor lauter Bäume nicht mehr". :)
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