Satz von der offenen Abbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | B(X,Y) Menge aller beschränkten linearen Operatoren von X nach Y
T [mm] \in [/mm] B(X,Y) offen [mm] \gdw [/mm] T(U) [mm] \subset [/mm] Y offen für jedes offene U [mm] \subset [/mm] X
T: X [mm] \to [/mm] Y stetig [mm] \gdw T^{-1} [/mm] (V) [mm] \subset [/mm] X offen für jedes offene V [mm] \subset [/mm] Y |
Der Satz von der offenen Abbildung besagt: Seien X,Y Banachräume, T offen. Dann ist T surjektiv.
Frage 1
Zudem gilt, dass jedes surjektive T auch offen ist. Surjektivität und Offenheit sind somit äquivalente Eigenschaft, oder?
Frage 2
Aus den obigen Definitionen folgt doch, dass Offenheit und Stetigkeit der Inversen äquivalente Eigenschaften sind, oder?
Also T [mm] \in [/mm] B(X,Y) offen [mm] \gdw [/mm] T(U) [mm] \subset [/mm] Y offen für jedes offene U [mm] \subset [/mm] X [mm] \cong (T^{-1})^{-1} [/mm] (U) [mm] \subset [/mm] Y offen für jedes offene U [mm] \subset [/mm] X [mm] \gdw T^{-1}: [/mm] Y [mm] \to [/mm] X stetig
Frage 2b
Im Buch von Werner (Funktionalanalysis), steht auf S. 151, dass folgendes gilt:
T bijektiv [mm] \gdw [/mm] T ist offen und [mm] T^{-1} [/mm] stetig.
Wenn Offenheit und Stetigkeit der Inversen äquivalent sind, dann macht diese Folgerung allerdings keinen Sinn.
Ich glaube, den Denkfehler schon entdeckt zu haben, das T [mm] \cong (T^{-1})^{-1} [/mm] gilt wohl nur, wenn T bijektiv ist.
Welchen Zusammenhang kann man dann aber über Offenheit und der stetigen Inversen im Fall einer nicht-bijektiven Abbildung feststellen?
Grüße und danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Mi 06.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> B(X,Y) Menge aller beschränkten linearen Operatoren von X
> nach Y
> T [mm]\in[/mm] B(X,Y) offen [mm]\gdw[/mm] T(U) [mm]\subset[/mm] Y offen für jedes
> offene U [mm]\subset[/mm] X
> T: X [mm]\to[/mm] Y stetig [mm]\gdw T^{-1}[/mm] (V) [mm]\subset[/mm] X offen für
> jedes offene V [mm]\subset[/mm] Y
>
> Der Satz von der offenen Abbildung besagt: Seien X,Y
> Banachräume, T offen. Dann ist T surjektiv.
Nein, genau das sagt er nicht! Er sagt: ist $T$ surjektiv und stetig, so ist $T$ offen.
Dass aus $T$ offen bereits $T$ surjektiv folgt ist der einfache Teil der Aussage. (Das Bild vom Einheitsball von $X$ unter $T$ muss ja offen sein, also einen evtl. verkleinerten Einheitsball von $Y$ enthalten, und wenn du einen beliebigen Vektor aus $Y$ hast, kannst du den immer in den Einheitsball und somit auch in den verkleinerten Einheitsball skalieren.)
> Frage 1
> Zudem gilt, dass jedes surjektive T auch offen ist.
> Surjektivität und Offenheit sind somit äquivalente
> Eigenschaft, oder?
Fuer stetige lineare Abbildungen zwischen Banachraeumen sind die beiden aequivalent, ja.
> Frage 2
> Aus den obigen Definitionen folgt doch, dass Offenheit und
> Stetigkeit der Inversen äquivalente Eigenschaften sind,
> oder?
Fuer bijektive Abbildungen, ja. Wenn sie nicht surjektiv ist, dann kann sie nicht offen sein (aber die Inverse, eingeschraenkt auf's Bild, sehr wohl stetig), und wenn sie nicht injektiv ist, kann man nicht von der Inversen reden...
> Also T [mm]\in[/mm] B(X,Y) offen [mm]\gdw[/mm] T(U) [mm]\subset[/mm] Y offen für
> jedes offene U [mm]\subset[/mm] X [mm]\cong (T^{-1})^{-1}[/mm] (U) [mm]\subset[/mm] Y
> offen für jedes offene U [mm]\subset[/mm] X [mm]\gdw T^{-1}:[/mm] Y [mm]\to[/mm] X
> stetig
Unter der zusaetzlichen Voraussetzung $T$ bijektiv ja.
> Frage 2b
> Im Buch von Werner (Funktionalanalysis), steht auf S. 151,
> dass folgendes gilt:
> T bijektiv [mm]\gdw[/mm] T ist offen und [mm]T^{-1}[/mm] stetig.
Wo steht das? Bei mir steht das nirgends auf S. 151. (Da steht nur, dass bijektive Abbildungen genau dann offen sind, wenn ihre Inversen stetig sind.)
Ich glaube auch nicht das es so (ohne weitere Voraussetzungen) irgendwo in dem Buch steht.
> Wenn Offenheit und Stetigkeit der Inversen äquivalent sind,
> dann macht diese Folgerung allerdings keinen Sinn.
Exakt.
> Ich glaube, den Denkfehler schon entdeckt zu haben, das T
> [mm]\cong (T^{-1})^{-1}[/mm] gilt wohl nur, wenn T bijektiv ist.
Von [mm] $T^{-1}$ [/mm] zu reden darf man eh erst, wenn $T$ bijektiv ist. (Es sei denn man will Urbilder betrachten etc.)
> Welchen Zusammenhang kann man dann aber über Offenheit und
> der stetigen Inversen im Fall einer nicht-bijektiven
> Abbildung feststellen?
Die Inverse gibt es im nicht-bijektiven Fall nicht.
LG Felix
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