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Hallo!
Ich habe folgende Likelihood Funktion:
L( [mm] \delta;x1,...,xn)=\begin{cases} (\bruch{1}{\delta})^n, & xi \le\delta \mbox { für alle i = 1,...,n}\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Warum nimmt diese Funktion bei:
[mm] \delta(x1,...,xn) [/mm] = max {x1,....xn} ihr Maximum an?
Das würde ja heißen, dass ab einem bestimmten Punkt xi, in diesem Fall wäre xi das Maximum der Stichprobenwerte, die Funktion fallend wäre.
Aber warum ist sie fallend, die Stichprobenwerte können ja jeden Wert annehmen? Sicherlich irgendwo müssen sie ja einen Maximalwert haben, aber warum ist dann max{x1,...,xn} ein Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \delta? [/mm] Wie lese ich das aus der Formel raus?
Kann mir da mal jemand behilflich sein!?
Danke!
mfg
René
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Rene!
> L( [mm]\delta;x1,...,xn)=\begin{cases} (\bruch{1}{\delta})^n, & xi \le\delta \mbox { für alle i = 1,...,n}\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
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> Warum nimmt diese Funktion bei:
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> [mm]\delta(x1,...,xn)[/mm] = max {x1,....xn} ihr Maximum an?
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> Das würde ja heißen, dass ab einem bestimmten Punkt xi, in
> diesem Fall wäre xi das Maximum der Stichprobenwerte, die
> Funktion fallend wäre.
Na ja, L ist ja in erster Linie eine Funktion von [mm] $\delta$!!! [/mm] Du sollst das [mm] $\delta^*$ [/mm] finden, an dem L maximal wird. Die Stichprobenwerte x1,...,xn sind nur Konstanten, die Du eben mitschleppen musst.
Schau Dir mal die Einschränkung $ xi [mm] \le\delta$ ($\forall i=1,\ldots, [/mm] n$) an, und zwar aus der Sicht von [mm] $\delta$. [/mm] Wenn [mm] $\delta \ge [/mm] xi$ für alle i gilt, dann ist das doch äquivalent mit [mm] $\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)$. [/mm] Das heißt, die Funktion ist nur für [mm] $\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] von Null verschieden. An der Stelle [mm] $\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] springt die Funktion von Null weg und fällt danach gemäß [mm] $(1/\delta)^n$, [/mm] d.h. sie besitzt als Asymptote die [mm] $\delta$-Achse. [/mm] (Dass sie fällt, ist klar, oder?)
Daraus folgt aber doch, dass L an der Stelle [mm] $\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] am größten ist. Deshalb ist [mm] $\max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] der Maximum-Likelihood-Schätzer.
Viele Grüße
Brigitte
P.S.: Kann gerade die Vorschau nicht nutzen. Sorry für evt. Tippfehler...
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> Hallo Rene!
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> > L( [mm]\delta;x1,...,xn)=\begin{cases} (\bruch{1}{\delta})^n, & xi \le\delta \mbox { für alle i = 1,...,n}\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
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> > Warum nimmt diese Funktion bei:
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> > [mm]\delta(x1,...,xn)[/mm] = max {x1,....xn} ihr Maximum an?
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> > Das würde ja heißen, dass ab einem bestimmten Punkt xi,
> in
> > diesem Fall wäre xi das Maximum der Stichprobenwerte,
> die
> > Funktion fallend wäre.
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> Na ja, L ist ja in erster Linie eine Funktion von [mm]\delta[/mm]!!!
> Du sollst das [mm]\delta^*[/mm] finden, an dem L maximal wird. Die
> Stichprobenwerte x1,...,xn sind nur Konstanten, die Du eben
> mitschleppen musst.
>
> Schau Dir mal die Einschränkung [mm]xi \le\delta[/mm] ([mm]\forall i=1,\ldots, n[/mm])
> an, und zwar aus der Sicht von [mm]\delta[/mm]. Wenn [mm]\delta \ge xi[/mm]
> für alle i gilt, dann ist das doch äquivalent mit [mm]\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)[/mm].
> Das heißt, die Funktion ist nur für [mm]\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)[/mm]
> von Null verschieden. An der Stelle
> [mm]\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)[/mm] springt die Funktion von Null
> weg und fällt danach gemäß [mm](1/\delta)^n[/mm], d.h. sie besitzt
> als Asymptote die [mm]\delta[/mm]-Achse. (Dass sie fällt, ist klar,
> oder?)
> Daraus folgt aber doch, dass L an der Stelle
> [mm]\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)[/mm] am größten ist. Deshalb ist
> [mm]\max(x1,\ldots,xn)[/mm] der Maximum-Likelihood-Schätzer.
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> Viele Grüße
> Brigitte
>
> P.S.: Kann gerade die Vorschau nicht nutzen. Sorry für evt.
> Tippfehler...
>
Hallo!
Okay, ich denke, daß ich das jetzt verstanden habe, hoffe ich! 
In diesem Zusammenhang verwirrt mich jetzt allerdings etwas...
Ich habe jetzt bspw. diese Funktion:
L( [mm]\delta;x_{1},...,x_{n})=\begin{cases} 2^n \delta^{2n} \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{-3}, & \mbox{ für} 0<\delta\le x_{i} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Wenn ich mir jetzt die Einschränkung hinten angucke, dann wäre [mm] \delta\le x_{i} [/mm] äquivalent mit [mm] \delta\le min(x_{1},...,x_{n}), [/mm] oder? -> also das Minimum von [mm] (x_{1},...x_{n})
[/mm]
So weit, so gut, aber wie kann jetzt die Funktion L mit diesem Wert ihr Maximum annehmen!? Ab diesem Punkt fängt sie doch jetzt an zu steigen, aber dann liegt ja der maximalwert jetzt nicht im Minimum, eigentlich steigt die Funktion doch "ab dann", oder!?
mfg
René
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Hallo Rene!
> Ich habe jetzt bspw. diese Funktion:
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> L( [mm]\delta;x_{1},...,x_{n})=\begin{cases} 2^n \delta^{2n} \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{-3}, & \mbox{ für} 0<\delta\le x_{i} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
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> Wenn ich mir jetzt die Einschränkung hinten angucke, dann
> wäre [mm]\delta\le x_{i}[/mm] äquivalent mit [mm]\delta\le min(x_{1},...,x_{n}),[/mm]
> oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So weit, so gut, aber wie kann jetzt die Funktion L mit
> diesem Wert ihr Maximum annehmen!? Ab diesem Punkt fängt
> sie doch jetzt an zu steigen, aber dann liegt ja der
> maximalwert jetzt nicht im Minimum, eigentlich steigt die
> Funktion doch "ab dann", oder!?
Nein, schau Dir noch mal die Fallunterscheidung der Funktion an. Für [mm]\delta> \min(x_{1},...,x_{n})[/mm] ist der Funktionswert Null. Das heißt, direkt nach der Stelle [mm]\min(x_{1},...,x_{n})[/mm] fällt die Funktion auf Null runter. Davor ist sie monoton steigend.
Viele Grüße
Brigitte
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