Schätzung erwartungstreu < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kann mir evtl. jemand erklären wie ich prüfe, ob eine Schätzung erwartungstreu ist?
Hab schon danach gegoogelt und in Büchern geschaut aber irgendwie steht überall nur die Berechnung für die jeweilige Schätzung und dann darunter, dass die Schätzung erwartungstreu ist aber keine Begründung dafür.
Danke schonmal!
Lg, Raingirl87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Hallo!
> Kann mir evtl. jemand erklären wie ich prüfe, ob eine
> Schätzung erwartungstreu ist?
Ist [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, (P_\theta)_{\theta\in\Theta})$ [/mm] ein statistisches Modell, [mm] $\tau:\theta\to\IR$ [/mm] eine Kenngröße und [mm] $T:\IR^n\to\IR$ [/mm] ein Schätzer von [mm] $\tau$, [/mm] so heißt $T$ erwartungstreu, falls
[mm] $$E_\theta(T(X_1,\ldots,X_n))=\tau(\theta)\quad \forall\theta\in\Theta,$$
[/mm]
wobei [mm] $E_\theta(T)=\int [/mm] T\ [mm] dP_\theta$ [/mm] der Erwartungswert von T bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm] $P_\theta$.
[/mm]
Die Definition solltest Du in allen Einführungen in die Statistik finden.
Was es heißt, siehst Du an den Beispielen. Du berechnest den Erwartungswert des Schätzers unter der Annahme, Du würdest den wahren Wert [mm] $\theta$ [/mm] kennen. Und dieser Erwartungswert des Schätzers muß dann gleich [mm] $\theta$ [/mm] bzw. der Kenngröße, also dem was Du schätzen willst, sein.
Sagen wir haben eine Stichprobe, deren Werte unabhängig und identisch exponentialverteilt sind und wir wollen den Erwartungswert schätzen:
[mm] $(\Omega=\IR_+^n, \mathcal{F}=\mathcal{B}(\IR)^n, (P_\theta)_{\theta\in\Theta}=(expo(\theta)^n)_{\theta\in\Theta}))$
[/mm]
[mm] $\tau(\theta)=\frac{1}{\theta}$, [/mm] weil der Erwartungswert der Exponentialverteilung 1 durch den Parameter ist.
[mm] $T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i [/mm] =: [mm] \overline{X}$. [/mm] Wir schätzen mit dem Stichprobenmittel.
[mm] $E_\theta(T(X_1,\ldots,X_n)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E_\theta(X_i) [/mm] = $
Die [mm] $X_i$ [/mm] sind identisch und exponentialverteilt und zwar mit Parameter [mm] $\theta$. [/mm] Damit ist ihr Erwartungswert [mm] $\frac{1}{\theta}$.
[/mm]
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{\theta} [/mm] = [mm] \frac{1}{\theta} =\tau(\theta)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] erwartungstreu.
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