Schar der Wendetangenten < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo liebe Forumsmitglieder,
ich bräuchte mal bitte einen kleinen Gedankenanstoß für diese Aufgabe.
Danke für eure Hilfe! 
Gegeben ist die Schar f(x) = [mm] 1/12x(x-a)^2; [/mm] (a ε [mm] \IR [/mm] )
a) Bestimme die Gleichung der Schar der Wendetangenten ta(x)
[ ta(x) = [mm] (-a^2/36)*x [/mm] + [mm] (2/81)*a^3 [/mm] ]
Lsg:
f"(x) = 0
(1/2)x - (1/3)a = 0
x = (2/3)a
>> W( (2/3)a / [mm] (1/162)a^3)
[/mm]
f'((2/3)a) = [mm] (-2/27)a^2 [/mm] ?!?! Lösung ist ja eig [mm] (-1/36)a^2
[/mm]
Was mach ich falsch?
b) Welche Wendetangente ist parallel zur Winkelhalbierenden des 2. und 4.
Quadranten, welche steht darauf senkrecht?
Lsg:
Winkelhalbierende k(x) = -x
f'(xw) = 1 >> senkrecht
f'(xw) = -1 >> parallel
Senkrecht steht ja eine Gerade auf einer andere Gerade mit dem negative
Kehrbruch der Ausgangsgerade...
Muss ich da jetzt einen bestimmten Wet für a angeben?
!!!! xw = x-Wert des Wendepunkts also W( xw / f(xw) ) !!!!
c) Welche Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit dem
Flächeninhalt 72 ein?
Lsg:
Also mann müsste den y-Achsenabschnitt t und die Nullstelle der Wendetangente
bestimmen.
Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck, also A = 1/2* "t(x)=0" *t
Und wie soll ich das jetzt alles bestimmen??
Mit freundlichen Grüßen,
FragenMichl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
a)
an der Stelle [mm] x=\bruch{2}{3}a [/mm] liegt der Wendepunkt ist ok
[mm] f(\bruch{2}{3}a)=\bruch{1}{162}a^3 [/mm] ist auch ok
möchtest du den Anstieg der Tangentenschar berechnen, so ist [mm] f'(\bruch{2}{3}a) [/mm] zu berechnen, welchen Fehler du gemacht hast, kann ich nicht sagen, stelle mal bitte deine Rechnung vor
b)
der Anstieg ist -1 bzw. 1, die beiden Wendetangenten hängen von a ab
c)
auch hier benötigst du zunächst die Gleichung der Wendetangente in Abhängigkeit von a, bestimme dann die Nullstelle und f(0), die Flächenformel des Dreiecks kennst du ja,
Steffi
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| Aufgabe | Danke für deine schnelle Antwort :)
a) Ohh... Ja hab mich verrechnet :D
m= [mm] -(a^2/36)x
[/mm]
ok passt :)
b) dann muss ich also f'(x) = -1 bzw 1 setzen >> nach x auflösen >> x-Wert in f'(x)
und ich bekomm m von t(x) >> ganz normal Tangente berechenen
Dann müsste es klapppen oder?
c) Also muss ich da dann die Tangentengleichung ta(x) aus Teilaufgabe a) gleich 0
setzen und nach x auflösen und t = [mm] (2/81)a^3 [/mm] setzen
>> 72 = 1/2 * ta(x) = 0 * t >> nach a auflösen und fertig?!
Passts so? |
Fragen oben :D
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Hallo
a)
den Fehler hast du offenbar selber gefunden
b)
deine Tangentenschar lautet [mm] f_t(x)=-\bruch{1}{36}a^2*x+\bruch{2}{81}a^3 [/mm] bilde jetzt die 1. Ableitung der Tangentengleichung, setze diese gleich -1, daraus kannst du a bestimmen
c)
du benötigst die Schnittstelle mit der y-Achse, also [mm] f_t(0) [/mm] und die Nullstelle der Tangente
Steffi
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b) Ach ja stimmt ich brauch ja die Ableitung von ft(x), stimmt ok :)
c) Das hab ich doch eig. so geschrieben?!
ft(0) ist doch [mm] (2/81)a^3 [/mm] und ft(x) = 0 ok...
und dann wenn ich das dann in 72 = 1/2 * Nullstelle * ft(0) einsetze, wie
soll ich dann die Wendetangente bestimmen, bei der Gleichung 72=... sind
ja nur noch a drinnen?!
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Hallo, bei der Aufageb c) ist doch a gesucht unter der Bedingung, dass der Flächeninhalt 72 FE beträgt, Steffi
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Achso :D
Tut mir leid Steffi, Danke für deine Hilfe
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Tut mit leid, aber jetzt muss ich nochmal schreiben...
Bei einer anderen Teilaufgabe soll ich die Extrema allgemein bestimmen!
f'(x) = [mm] 1/12(x-a)^2 [/mm] + (1/6)x(x-a)
= [mm] (1/4)x^2 [/mm] - (1/3)ax + [mm] (1/12)a^2 [/mm] = 0
(1/4)*x*(x-(4/3)a) = [mm] -(1/12)a^2
[/mm]
und wie mach ich jetzt da weiter?? Wie löse ich nach x au?!
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und nochmal zur b)
ft'(x) = [mm] -(1/36)a^2 [/mm] = 1 >> Ansatz Senkrecht!
a = -6
ft(x) = -x -16/3
>> Die Tangente steht nun nicht senkrecht auf der Winkellhalbierenden
sondern ist wieder parallel [mm] a^2 [/mm] ist schuld :/
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Hallo, die Tangente(n)
[mm] f_t(x)=-\bruch{1}{36}a^2*x+\bruch{2}{81}a^3
[/mm]
[mm] f'(t)=-\bruch{1}{36}a^2
[/mm]
wenn die Tangente parallel zur Winkelhalbierenden 2./4. Quadrant verlaufen soll, so ist der Anstieg -1, zu lösen ist also
[mm] -\bruch{1}{36}a^2=-1
[/mm]
[mm] a^2=36
[/mm]
[mm] a_1_2=\pm6
[/mm]
für x=6 hast du die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{12}x*(x-6)^2 [/mm] mit der Tangente [mm] f_t(x)=-x+\bruch{16}{3}
[/mm]
für x=-6 hast du die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{12}x*(x+6)^2 [/mm] mit der Tangente [mm] f_t(x)=-x-\bruch{16}{3}
[/mm]
die dazu senkrechten Tangenten haben den Anstieg 1, du kennst noch den Wendepunkt [mm] (\bruch{2}{3}a; \bruch{1}{162}a^3) [/mm] daraus kannst du für die jeweils senkrechten Tangenten n berechnen
Steffi
Steffi
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Ich verstehe deine Ansatz jetzt nicht so ganz :/
ich habe die Parallelen ft(x) = -x - 16/3 und -x + 16/3
Wie komme ich jetzt auf die Parallele Wendetangente und die Senkrechte?
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Hallo, die beiden Tangenten [mm] f_t(x)=-x+\bruch{16}{3} [/mm] und [mm] f_t(x)=-x-\bruch{16}{3} [/mm] verlaufen parallel zur Winkelhalbierenden 2./4. Quadrant, sie haben den Anstieg -1, jetzt brauchst du noch die dazu senkrechten Tangenten durch den Wendepunkt, allgemein hat der Wendepunkt die Koordinaten [mm] (\bruch{2}{3}a; \bruch{1}{162}a^3)
[/mm]
für a=6 hast du den Wendepunkt (4; [mm] \bruch{4}{3})
[/mm]
für a=-6 hast du den Wendepunkt (-4; [mm] -\bruch{4}{3})
[/mm]
die senkrechten Tangenten lauten
[mm] f_t_s(x)=x+n [/mm] der Anstieg ist ja 1
setze die konkreten Wendepunkte ein und berechne n
Steffi
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Hallo, die 1. Ableitung ist korrekt
[mm] f'(x)=\bruch{1}{12}(x-a)^2+\bruch{1}{6}x(x-a)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{3}ax+\bruch{1}{12}a^2
[/mm]
die Klammern sind korrekt aufgelöst
[mm] 0=\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{3}ax+\bruch{1}{12}a^2
[/mm]
[mm] 0=x^2-\bruch{4}{3}ax+\bruch{1}{3}a^2
[/mm]
jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen
[mm] p=-\bruch{4}{3}a [/mm] und [mm] q=\bruch{1}{3}a^2
[/mm]
Steffi
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