www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Schiefsymmetrische Matrix
Schiefsymmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Schiefsymmetrische Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Mi 22.06.2011
Autor: pyw

Aufgabe
Sei [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] schiefsymmetrisch und ferner [mm] C:=I_n+A, D:=I_n-A [/mm]

Man zeige, dass die Matrix [mm] CD^{-1} [/mm] existiert und orthogonal ist.

Hallo,

Da A schiefsymmetrisch ist, hat A keine Eigenwerte [mm] \neq0 [/mm] (das wurde vorangehend gezeigt). Daher haben die Matrizen C und D vollen Rang und sind damit invertierbar.

Nun ist für den Nachweis der Orthonalität zu zeigen: [mm] CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=I_n. [/mm]

Ich habe so gerechnet:

[mm] CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=CD^{-1}\left[D^{-1}\right]^TC^T=CD^{-1}\left[D^{T}\right]^{-1}C^T [/mm]

Unter Verwendung von [mm] C=D^T, C^T=D [/mm] (folgt aus A schiefsymmetrisch) folgt:

[mm] ...=CD^{-1}C^{-1}D [/mm]

Wie bekomme ich das nun weiter aufgelöst?
Danke für Hilfe.

Gruß

        
Bezug
Schiefsymmetrische Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Mi 22.06.2011
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]A\in\IR^{n\times n}[/mm] schiefsymmetrisch und ferner
> [mm]C:=I_n+A, D:=I_n-A[/mm]
>  
> Man zeige, dass die Matrix [mm]CD^{-1}[/mm] existiert und orthogonal
> ist.
>  Hallo,
>
> Da A schiefsymmetrisch ist, hat A keine Eigenwerte [mm]\neq0[/mm]
> (das wurde vorangehend gezeigt).

Das stimmt nicht: sie haben keine reellen Eigenwerte [mm] $\neq [/mm] 0$. Genauer: alle Eigenwerte sind rein imaginaer.

> Daher haben die Matrizen C
> und D vollen Rang und sind damit invertierbar.

Dazu brauchst du, dass 1 und -1 keine Eigenwerte von $A$ sind. Allgemein hat die Summe einer Matrix von nicht vollem Rank und der Identitaetsmatrix nicht umbedingt vollen Rang, wie man von der Summe von [mm] $I_2$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 & 0 & -1}$ [/mm] sieht.

> Nun ist für den Nachweis der Orthonalität zu zeigen:
> [mm]CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=I_n.[/mm]
>  
> Ich habe so gerechnet:
>  
> [mm]CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=CD^{-1}\left[D^{-1}\right]^TC^T=CD^{-1}\left[D^{T}\right]^{-1}C^T[/mm]
>  
> Unter Verwendung von [mm]C=D^T, C^T=D[/mm] (folgt aus A
> schiefsymmetrisch) folgt:
>  
> [mm]...=CD^{-1}C^{-1}D[/mm]
>  
> Wie bekomme ich das nun weiter aufgelöst?

Nun, es gilt $C D = D C$, und damit auch [mm] $C^{-1} D^{-1} [/mm] = [mm] D^{-1} C^{-1}$. [/mm] Damit loest sich das schnell in Wohlgefallen auf.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Schiefsymmetrische Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Mi 22.06.2011
Autor: pyw

Hallo,
> Das stimmt nicht: sie haben keine reellen Eigenwerte [mm]\neq 0[/mm].
> Genauer: alle Eigenwerte sind rein imaginaer.

stimmt, ich habe auch nur gezeigt, dass es keine weiteren reellen Eigenwerte außer 0 geben kann.


> Damit loest sich das schnell in Wohlgefallen auf.

Danke!

Gruß,

pyw

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]