Schmidt - Orthonormalbasis < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 09.10.2011 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Sei
U:= < [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Bestimmen sie eine Orthonormalbasis für [mm] U^{T} [/mm] |
Hallo! Sagt mir bitte... was mach ich falsch??!?!?!:
1. zuerst vereinfache ich die vektoren mit gauß:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 }
[/mm]
sei der erste Vektor := [mm] u_1 [/mm] der zweite durch [mm] u_2.
[/mm]
2. Ich suche zu jedem der beiden Vektoren einen [mm] \perp [/mm] Vektor [mm] x_{1,2}:
[/mm]
[mm] =0 [/mm]
--> [mm] x_1+x_2+x_3+x_4=0
[/mm]
Hier kann ich doch beliebig wählen solange [mm] =0 [/mm] gilt oder??!?
--> [mm] x_1 [/mm] :=(0 0 1 -1)
[mm] =0 [/mm]
g.d.w. [mm] -2x_2=0 [/mm] ---> ich nehme mal [mm] x_2=(1 [/mm] 0 0 0)
Mein [mm] x_1, x_2 [/mm] bildet mit [mm] span(x_1,x_2) [/mm] eine Basis von [mm] U^{T}.
[/mm]
3. Schmidtscher Verfahren
[mm] e_1:= \bruch{1}{|x_1|} x_1= \bruch{1}{\wurzel{2}}x_1
[/mm]
[mm] b_1= x_2 [/mm] - [mm] x_2
[/mm]
Hilfe... hier bekommen ich bei [mm] [/mm] immer 0 raus! was mach ich falsch????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 Mo 10.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
Dein x1 liegt doch schon nicht mehr in U? sowas sieht man direkt!
du brauchst nicht irgendeinen zu v1 senkrechten vektor, sondern einen, den man durch v1 und v2 kombinieren kann. sieh dir das Gram-Schmidtverfahren noch mal an, im skript oder wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
bei dir ist das ja nur 1 Schritt!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 10.10.2011 | | Autor: | perl |
nun gut. ich stell die frage anders mit nem einfacheren bsp:
gesucht ist eine ONB zu den vektoren [mm] a_1 [/mm] =(-1 2) und [mm] a_2=(2 [/mm] 1)
1. Schritt Normalisieren von [mm] a_1
[/mm]
--> [mm] e_1= \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
2. Schritt Orthogonalisieren von [mm] a_2
[/mm]
b= [mm] a_2 [/mm] - < [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2} [/mm] , [mm] a_2> \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
Hier ist mein problem < [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2} [/mm] , [mm] a_2>, [/mm] denn
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}(-1) [/mm] (2) + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] (2)(1) = 0
oder berechne ich das skalarprodukt falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mo 10.10.2011 | | Autor: | perl |
heißt das, dass wenn ich 2 vektoren erwische, die eh schon orthogonal zu einander sind, entfällt die orthogonalisierung (da lösung der 2. vektor ist) und zur bestimmung einer ONB braucht nur noch der 2. Vektor auch normiert werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 10.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> nun gut. ich stell die frage anders mit nem einfacheren
> bsp:
>
> gesucht ist eine ONB zu den vektoren [mm]a_1[/mm] =(-1 2) und [mm]a_2=(2[/mm]
> 1)
>
> 1. Schritt Normalisieren von [mm]a_1[/mm]
> --> [mm]e_1= \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
> 2. Schritt Orthogonalisieren von [mm]a_2[/mm]
>
> b= [mm]a_2[/mm] - < [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2}[/mm] , [mm]a_2> \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
>
> Hier ist mein problem < [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{-1 \\ 2}[/mm]
> , [mm]a_2>,[/mm] denn
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}(-1)[/mm] (2) + [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm]
> (2)(1) = 0
>
> oder berechne ich das skalarprodukt falsch?
Nein. Die Vektoren [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind schon orthogonal.
FRED
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