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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Erzeugen Sie aus den Vektoren
[mm] v_1=\vektor{1-i\\1+i\\2i} v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} v_3=\vektor{0 \\ 0 \\1}
[/mm]
mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis des [mm] \IC^3. [/mm] |
Guten Tag Matheraum!
Irgendwie komme ich nicht bei der Aufgabe weiter...
Also der erste Schritt war: [mm] e_1=\bruch{v_1}{||v_1||}
[/mm]
Hier bin ich schon gescheitert: [mm] e_1=\bruch{1}{\wurzel{(1-i)^2+(1+i)^2+(2i)^2}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i} [/mm] => [mm] e_1=\bruch{1}{\wurzel{6i^2+2}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i} [/mm]
Da [mm] i^2 [/mm] ja bekanntlich -1 ist entsteht folgendes:
[mm] e_1=\bruch{1}{\wurzel{-4}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i} [/mm]
Was mach ich falsch oder übersehe ich hier =)?
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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Hallo Ilya,
> Erzeugen Sie aus den Vektoren
>
> [mm]v_1=\vektor{1-i\\
1+i\\
2i} v_2=\vektor{0 \\
1 \\
0} v_3=\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens
> eine Orthonormalbasis des [mm]\IC^3.[/mm]
> Guten Tag Matheraum!
>
> Irgendwie komme ich nicht bei der Aufgabe weiter...
>
> Also der erste Schritt war: [mm]e_1=\bruch{v_1}{||v_1||}[/mm]
>
> Hier bin ich schon gescheitert:
> [mm]e_1=\bruch{1}{\wurzel{(1-i)^2+(1+i)^2+(2i)^2}}*\vektor{1-i\\
1+i\\
2i}[/mm]
Nana, du bist doch im Komplexen !!
Im [mm]\IC^n[/mm] ist das Standardskalarprodukt doch definiert durch:
[mm]\langle x,y\rangle=\sum\limits_{i=1}^nx_i\cdot{}\overline{y_i}[/mm]
Also hier [mm]||v_1||=\sqrt{\langle v_1,v_1\rangle}=\sqrt{(1-i)(1+i)+(1+i)(1-i)+(2i)(-2i)}=\ldots[/mm]
> => [mm]e_1=\bruch{1}{\wurzel{6i^2+2}}*\vektor{1-i\\
1+i\\
2i}[/mm]
>
> Da [mm]i^2[/mm] ja bekanntlich -1 ist entsteht folgendes:
>
> [mm]e_1=\bruch{1}{\wurzel{-4}}*\vektor{1-i\\
1+i\\
2i}[/mm]
>
> Was mach ich falsch oder übersehe ich hier =)?
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Random |
Okay danke hab es jetzt =)
[mm] e_1=\bruch{1}{2\wurzel{2}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i} [/mm]
Jetzt hab ich ein Problem bei der Suche nach [mm] e^{'}_{2}:
[/mm]
[mm] e^{'}_{2}=-*e_1+v_2= -\bruch{1}{2\wurzel{2}}*(1+i)*\bruch{1}{2\wurzel{2}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i}+\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
So jetzt multipliziere is alles was möglcih ist und erhalte: [mm] -\bruch{1}{8}*\vektor{1-i^2\\i^2+2i+1\\2i^2+2i}+\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Ist das richtig so oder hab ich was falsch gemacht?
LG Ilya
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Hallo Random,
> Okay danke hab es jetzt =)
>
> [mm]e_1=\bruch{1}{2\wurzel{2}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i}[/mm]
>
> Jetzt hab ich ein Problem bei der Suche nach [mm]e^{'}_{2}:[/mm]
>
> [mm]e^{'}_{2}=-*e_1+v_2= -\bruch{1}{2\wurzel{2}}*(1+i)*\bruch{1}{2\wurzel{2}}*\vektor{1-i\\1+i\\2i}+\vektor{0\\1\\0}[/mm]
Hier musst Du doch rechnen:
[mm]=v_{2} \* \overline{e_{1}}[/mm]
Gerechnet hast Du
[mm]=v_{2} \* e_{1}[/mm]
Welches im [mm]C^{3}[/mm] kein Skalarprodukt ist.
>
> So jetzt multipliziere is alles was möglcih ist und
> erhalte:
> [mm]-\bruch{1}{8}*\vektor{1-i^2\\i^2+2i+1\\2i^2+2i}+\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> Ist das richtig so oder hab ich was falsch gemacht?
>
> LG Ilya
>
Gruss
MathePower
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