Schnitt Untervektorräume < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Sa 28.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | Geben Sie für U schneidet V eine Basis an mit U x1,x2,x3,x4 E [mm] R^4 [/mm] / x2-2x3+x4 und W x1,x2,x3,x4 E [mm] R^4 [/mm] / x1 gleich x4 und x2 gleich 2x3.
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Hallo,
bin total am verzweifeln. Kann mir jemand weiterhelfemn und mir sagen wie ich den Schnitt dieser beiden Unterräume bestimmen kann.
Mfg
Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 So 29.04.2007 | | Autor: | lch |
Ich werde aus deinem Geschreibsel nicht ganz schlau, versuch das demnächst mal verständlicher aufzuschreiben. Wenn ich orakele, dann vermute ich mal, dass das heißen soll U = [mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] , [mm] x_4 [/mm] ) [mm] \in \IR^4 [/mm] mit [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0 und W = [mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] , [mm] x_4 [/mm] ) [mm] \in \IR^4 [/mm] mit [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] 2x_3
[/mm]
Ist das richtig so?
In dem Fall mußt du nur dran denken, dass beim Schneiden alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Du kannst also ausnutzen, dass [mm] x_2 [/mm] und [mm] 2x_3 [/mm] gleich sind und das fällt bei der ersten Bedingung schonmal raus, es bleibt [mm] x_4 [/mm] = 0 und du weißt dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_4 [/mm] also sind beide Null. Die anderen beiden sind beliebig, müssen aber die Abhängigkeit erfüllen, dass [mm] x_2 [/mm] = [mm] 2x_3 [/mm] gilt. Also wählst du dir einen beliebigen Vektor, der dies alles erfüllt und das ist dann dein Basisvektor. Zumindest wenn dir klar ist, warum dann einer reicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Aber ich dachte ich setze einfach alles 0, also x1-x4=0 und x2-2x3=0 und setze diese gleich und bringe alles auf eine Seite, also x1-x4 plus x2-2x3=0 und setze diese dann mit x2-2x3 plus x4 gleich fasse dann zusammen. Und dann dachte cih bestimme ich spezielle Werte für x1,x2,... und bilde eine Matrix und bestimme die Basis, indem ich diese in Zeilenstufenform bringe. Geht das auch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Warum reicht denn nur ein Vektor....
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Hallo maggie,
für einen Vektor [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}\in U\cap [/mm] W$ müssen beide Bedingungen aus $U$ und aus $W$ erfüllt sein.
Also ist ein Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] genau dann aus [mm] $U\cap [/mm] W$, wenn
[mm] $x_2-2x_3+x_4=0\wedge x_1=x_4\wedge x_2=2x_3$
[/mm]
Wenn du mal die Bedingung [mm] $x_2=2x_3$ [/mm] in [mm] $x_2-2x_3+x_4=0$ [/mm] einsetzt, ergibt das
[mm] $x_2-x_2+x_4=0$, [/mm] also [mm] $x_4=0$
[/mm]
Weiter ist mit [mm] $x_4=x_1$ [/mm] auch [mm] $x_1=0$
[/mm]
Damit ist ein Vektor [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}\in U\cap W\gdw \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0 \\ 2t\\t\\0}=t\cdot{}\vektor{0 \\ 2\\1\\0}$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Hier siehst du, dass die Dimension von [mm] $U\cap [/mm] W=1$ ist, der Raum [mm] $U\cap [/mm] W$ wird also von [mm] $\vektor{0 \\ 2\\1\\0}$ [/mm] aufgespannt, er bildet mithin eine Basis von [mm] $U\cap [/mm] W$
Das ist eigentlich genau die Erklärung von Ich oben, nur etwas ausführlicher 
Hoffe, es ist dir nun klarer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Danke dir...du bist ein Schatz...ich war schon am verzweifeln... Aber woran sehe ich, dass die Dimension gliech 1 ist und wie zeige ich, dass es eine Basis ist?
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Hallo nochmal,
naja, alle Vektoren aus dem Schnitt von U und W haben ja die Gestalt
[mm] $t\cdot{}\vektor{0 \\ 2\\1\\0}$, [/mm] dh. der Raum [mm] $U\cap [/mm] W$ wird von [mm] $\vektor{0 \\ 2\\1\\0}$ [/mm] aufgespannt, er ist die lineare Hülle von [mm] $\vektor{0 \\ 2\\1\\0}$.
[/mm]
Da der Raum [mm] $U\cap [/mm] W$ von einem Vektor aufgespannt wird, ist die Dimension des Raumes gleich 1.
Der Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 2\\1\\0}$ [/mm] ist als einzelner Vektor linear unabhängig, also eine Basis der Raumes [mm] $U\cap [/mm] W$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Danke dir habs jetzt versatnden. Kann ich dich noch was fragen? Wenn ich zwei Unterräume U und W habe mit dimU=4 und dimW=5 und dimV=7. Wie bestimm eich die mäglichen Dimensionen für U schneidet W. Wir haben in der Vorlesung nichts dazu gemacht.
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> Danke dir habs jetzt versatnden. Kann ich dich noch was
> fragen? Wenn ich zwei Unterräume U und W habe mit dimU=4
> und dimW=5 und dimV=7. Wie bestimm eich die mäglichen
> Dimensionen für U schneidet W.
Hallo,
ICH würde hierbei meinen Hausfrauenverstand bemühen:
Beim (Zer-)Schneiden kann nix größer werden als es vorher war.
Der Schnitt kann also allerhöchstens die Dimension 4 haben.
Wenn Du's Dir "richtig" mathematisch überlegen willst, dann überlege Dir, wie die Schnittmenge definiert ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Halo Angela,
danke für die schnelle Antwort. Also wäre die Dimension hächstens vier. Aber wozu wurde dann dim V=7anegegeben?
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Hallo nochmal,
V ist als "Oberraum" zu U und W festgelegt, ein Unterraum hat höhstens die Dimension seines "Oberraumes", wenn also die Unterräume die Dimensionen 5 und 4 haben, muss V mind. Dimension 5 gehabt haben, hier ist er halt 7-dimensional.
U und W sind also Unterräume von V, die durch eine Basis von 4 respektive 5 Vektoren des [mm] \IK^7 [/mm] (bzw [mm] \IR^7) [/mm] erzeugt werden.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Tschuldige, dass ich nerve aber ich frag leiber nocheinmal nach. Reicht es also, wenn ich die Definition der Schnittmenge hierbei anwende und herausbekomme, dass die möglichen Dimensionen von U schneidet V gleich 5 sind? Mfg
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Moment, moment,
damit hier nix durcheinander kommt,
also du hast einen VR V gegeben mit dim(V)=7
So dann hast du 2 Unterräume von V, nämlich U und W mit dim(U)=4 und dim(W)=5.
Der Schnitt von U und W kann dann höchstens die Dimension 4 haben, das hängt aber - wie Angela oben schon sagte - von den Bedingungen von U und W ab.
Das musst du im konkreten Fall nachrechnen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Was heisst unter konkreten Bedingungen. Wie kann ich die mäglichen Dimensionen von U geschnitten W denn nun bestimmen. ich verstehe nur Bahnhof...Bitte eklärs mir
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Hi,
genau wie oben in der Aufgabe im 1. post.
Hier hast du V mit dim(V)=7
U Unterraum von V mit dim(U)=4
[mm] U=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7} | irgendeine Bedingung\}
[/mm]
und für W mit dim(W)=5 ebenso
[mm] W=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7} | irgendeine andere Bedingung\}
[/mm]
Nun müssen für Vektoren aus dem Schnitt von U und W beide Bedingungen erfüllt sein, und das musst du hast konkret berechnen.
Wie in dem Bsp oben, wo dann nachher das [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] 0 wurden.
Gib mal eine weitere konkrete Aufgabe, dann könne wir das anhand der Aufgabe durchgehen, dann wird das klarer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Das ist die Aufgabe....
Und hab noch eine ähnliche:
Seien U und W Unterräume des [mm] R^3 [/mm] mit dimU=1, dimW=2 und U ist kein Teilraum von W. Bestimmen Sie U schneidet W.
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Hallo,
mal überlegen:
Also [mm] $U\cap W=\{\vec{x}\in\IR^3 | \vec{x}\in U\wedge\vec{x}\in W\}$
[/mm]
Also sind im Schnitt die Vektoren aus U [mm] \bold{und} [/mm] aus W
Nun ist [mm] $U\not\subset [/mm] W$, also [mm] $\exists \vec{u}\in [/mm] U | [mm] \vec{u}\not\in [/mm] W$
Also gibt es einen Vektor in U, der nicht in W ist.
Was heißt das für den Schnitt? Ist das ein VR? Und wenn ja, welcher und mit welcher Dimension?
Kommste mit diesen Überlegungen weiter?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 29.04.2007 | | Autor: | maggi20 |
Das ist die Aufgabe....
Und hab noch eine ähnliche:
Seien U und W Unterräume des [mm] R^3 [/mm] mit dimU=1, dimW=2 und U ist kein Teilraum von W. Bestimmen Sie U schneidet W.
Nein irgendwie nicht... . Und was ist mit der ersten Aufgabe. Die wurde uns so gestellt. Da gibs nichts konkretes zu berechnen. LG
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> Seien U und W Unterräume des [mm]R^3[/mm] mit dimU=1, dimW=2 und U
> ist kein Teilraum von W. Bestimmen Sie U schneidet W.
>
> Nein irgendwie nicht... .
Hallo,
da Du schachuzipus Hinweise nicht verstehst, versuch' ich's auch noch.
Inzwischen müßtest Du verstanden haben, daß die Dimension des Schnittes von U und W höchstens =1 sein kannst.
Nimm an, daß die Dimension des Schnittes =1 ist.
Welcher Raum ist das dann? Verträgt sich das mit der Voraussetzung?
> Und was ist mit der ersten
> Aufgabe. Die wurde uns so gestellt. Da gibs nichts
> konkretes zu berechnen.
Ich weiß nicht, welche Aufgabe Du meinst, und ich möchte ungern den ganzen Thread studieren.
Gruß v. Angela
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