Schnitt konjugierter UG ist NT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Sei U Untergruppe der Gruppe (G,*). Man zeige:
Der Durchschnitt aller zu U konjugierten Untergruppen ist Normalteiler von G. |
Hallo,
hier mein vorläufiger Beweis:
Die zu U konjugierte Untergruppe ist definiert durch: [mm]U':=x*U*x^{-1}[/mm] mit x [mm] \in [/mm] G.
Ich betrachte nun den Schnitt über all diese Untergruppen U':
[mm]\bigcap_{U \sim U'} U' = \bigcap_{\exists x \in G : U'=x*U*x^{-1}} U'[/mm]
Sei nun I eine Indexmenge, die alle x enthält für die gilt: [mm]U'=x*U*x^{-1}[/mm]
Also [mm]K:= \bigcap_{x \in I} U'[/mm]
Da der Schnitt von Untergruppen wieder Untergruppe von G ist, ist K eine Untergruppe.
Nun muss ich noch zeigen dass K ein Normalteiler ist.
Dazu zeige ich: Für g [mm] \in [/mm] G: [mm] g*K*g^{-1} \subseteq [/mm] K
Und genau hier liegt mein Problem: Wie zeige ich dass das gilt?
Meine Idee (von der ich glaube dass sie total falsch ist) ist: Ich sage dass [mm] g*K*g^{-1} [/mm] selbst eine zu U konjugierte Untergruppe ist und diese ebend schon alle im Schnitt K enthalten sind, also folgt K [mm] \subseteq [/mm] K
Hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ich sage dass [mm]g*K*g^{-1}[/mm] selbst eine zu U konjugierte
> Untergruppe ist
sagen kann man viel, oft stimmt es sogar, nur beweisen muss man's.
Es ist doch gK = Kg für alle g [mm] \in [/mm] G nachzuweisen.
Für [mm] "\subseteq" [/mm] sei also y [mm] \in [/mm] gK, dann ist y [mm] \in [/mm] gU' für alle x [mm] \in [/mm] I.
y lässt sich also schreiben in der Form y = gu' = [mm] gxux^{-1} [/mm]
=> [mm] yg^{-1} [/mm] = [mm] gxux^{-1}g^{-1} [/mm] = [mm] (gx)u(gx)^{-1}.
[/mm]
Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass mit x auch gx die ganze Indexmenge I durchläuft, ist [mm] yg^{-1} \in [/mm] K und somit y [mm] \in [/mm] Kg nachgewiesen.
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:31 So 07.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hi, danke erstmal für deine Antwort!
> y lässt sich also schreiben in der Form y = gu' =
> [mm]gxux^{-1}[/mm]
> => [mm]yg^{-1}[/mm] = [mm]gxux^{-1}g^{-1}[/mm] = [mm](gx)u(gx)^{-1}.[/mm]
Den ersten Schritt hab ich verstanden, aber warum macht man [mm]yg^{-1}=gxux^{-1}g^{-1}=(gx)u(gx)^{-1}[/mm]? Die Umformung versteh ich, aber ich weiß nicht warum ich bei [mm]yg^{-1}[/mm] anfange; also wo "fügt" sich das in meinem Beweis für den Normalteiler ein?
Der letzte Term ist doch ein konjugiertes Element zu u' oder?
Kann ich mir die Vorgehensweise nicht für [mm]g*K*g^{-1}\subseteq K[/mm] zu nutze machen?
Also: [mm]g*K*g^{-1}=g*(x*U*x^{-1})*g^{-1}=(g*x)*U*(g*x)^{-1}[/mm] und da G Gruppe ist, also abgeschlossen gilt diese Gleichung. Somit ist [mm] (g*x)*U*(g*x)^{-1} [/mm] konjugiert zu U' für die besagten [mm] \underbrace{x \in I}_{wie.zeige.ich.dass.auch(g*x).dies.erfüllt?} [/mm] und somit in dem Schnitt aller konjugierten Untergruppen, also [mm] \subseteq [/mm] K
Das ist aber sehr schwammig formuliert, würde ich noch verbessern. Aber stimmt der Weg so?
Gruß Lyrn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 09.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:39 So 07.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Es ist doch gK = Kg für alle g [mm]\in[/mm] G nachzuweisen.
> Für [mm]"\subseteq"[/mm] sei also y [mm]\in[/mm] gK, dann ist y [mm]\in[/mm] gU'
> für alle x [mm]\in[/mm] I.
Kann mir wer sagen warum y [mm]\in[/mm] gU' gilt? Weil ich doch nur den Schnitt betrachte und nicht die Vereinigung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 09.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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