Schnitt von 2 Mannigf.k. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 14.01.2009 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | [mm] x^2+y^2-z^2=1 [/mm] sowie y=1 sind UMFen des [mm] \IR^3. [/mm]
ZZ: Ihr Schnitt ist keine UMF. |
hallo zusammen :)
[mm] f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1
[/mm]
Df(x,y,z)=(2x,2y,-2z).
aus f(x,y,z)=0 folgt ja, dass mind. eine komponente ungleich 0 ist und somit das differential den rang 1 hat.
so ist f eine 2dim. umf. (jetzt sehr schnell argumentiert^^)
y=1 ist klar.
aber jetzt beim schnitt:
wegen y=1 folgt dann:
[mm] f(x,1,z)=x^2-z^2 [/mm] = 0 => [mm] x^2=z^2 [/mm] => x=z
Df(x,1,z)=(2x,0,-2z) und da x=z=0 eine lösung ist von f(x,1,z)=0 ist das differential nicht injektiv und somit
ist der schnitt keine mannigfaltigkeit.
stimmt das so?
lg
eumel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]x^2+y^2-z^2=1[/mm] sowie y=1 sind UMFen des [mm]\IR^3.[/mm]
> ZZ: Ihr Schnitt ist keine UMF.
> hallo zusammen :)
>
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2\red{-}z^2-1[/mm]
> Df(x,y,z)=(2x,2y,-2z).
>
> aus f(x,y,z)=0 folgt ja, dass mind. eine komponente
> ungleich 0 ist und somit das differential den rang 1 hat.
> so ist f eine 2dim. umf. (jetzt sehr schnell
> argumentiert^^)
>
Richtig.
> y=1 ist klar.
Richtig.
>
> aber jetzt beim schnitt:
> wegen y=1 folgt dann:
>
> [mm]f(x,1,z)=x^2-z^2[/mm] = 0 => [mm]x^2=z^2[/mm] => [mm] \red{|x|}=\red{|z|}
[/mm]
> Df(x,1,z)=(2x,0,-2z) und da x=z=0 eine lösung ist von
> f(x,1,z)=0 ist das differential nicht injektiv und somit
> ist der schnitt keine mannigfaltigkeit.
Richtig.
Nur ist es schlecht aufgeschrieben, also f(x,1,z) würde ich nicht machen.
Der Schnitt ist ja [mm]\{(x,1,z)|x^2=y^2\}[/mm], und das ist ein "Kreuz" (sofern ich das hier in meinem Plot richtig sehe).
Davon ausgehend kannst du dann zeigen, dass es keine Mannigfaltigkeit ist.
edit: Ich glaube, das mit dem f(x,1,z) kannst du wirklich nicht so machen. Du kannst ja nur über Df gehen, wenn die Mannigfaltigkeit Urbildmenge eines Punktes von deiner Funktion f ist.
Bei dir ist das aber nicht gegeben, denn du hast ja [mm] f(x,y,z)=x^2-z^2 [/mm] abgeleitet, was aber nicht deine Mannigfaltigkeit darstellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mi 14.01.2009 | | Autor: | eumel |
hey :)
also die menge {(x,z) [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^2=z^2} [/mm] hätte ich egtl so auch niemals notiert wie oben...
aber diese kann man doch wieder als fkt darstellen:
[mm] f(x,z):=x^2-z^2 [/mm] und die nst'en sind ja diese für x=z und eben für x=z=0.
Df(x,z)=(2x,-2z) und da verschwindet ja das differential ja für x=z=0.... also injektivität is ja nicht gegeben.
und (x,1,z) wird bei mir als ebene angezeigt ^^
aber ich glaub ich habs gerallert :)
lg und danke
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