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Forum "Algebra" - Schnitt von Idealen
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Schnitt von Idealen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mi 25.11.2009
Autor: sTuDi_iDuTs

Hallo zusammen, bei einer Aufgabe hänge ich an folgendem Problem:
3 Ideale [mm] I_1 [/mm] = [mm] , I_2 [/mm] = [mm] [/mm]  und [mm] I_3 [/mm] = [mm] [/mm] dabei sind [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] Unbestimmte!
Nun soll der Schnitt der Ideale berechnet werden...
Soweit ich rausgefunden habe ist der Schnitt von Idealen das kgV der Ideale...
Jedoch komm ich damit nicht weiter! Kann mir vielleicht jemand helfen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Schnitt von Idealen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Do 26.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Hallo zusammen, bei einer Aufgabe hänge ich an folgendem
> Problem:
>  3 Ideale [mm]I_1[/mm] = [mm], I_2[/mm] = [mm][/mm]  und [mm]I_3[/mm] =
> [mm][/mm] dabei sind [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] Unbestimmte!

Lass mich raten: es hat mit dieser Aufgabe zu tun?

>  Nun soll der Schnitt der Ideale berechnet werden...
>  Soweit ich rausgefunden habe ist der Schnitt von Idealen
> das kgV der Ideale...

Und wenn sie teilerfremd sind, dann ist das Produkt gleich dem Durchschnitt.

Z.B. ist $1 = [mm] X_1 [/mm] - [mm] (X_1 [/mm] - 1) [mm] \in I_1 [/mm] + [mm] I_2$, [/mm] womit [mm] $I_1$ [/mm] und [mm] $I_2$ [/mm] teilerfremd sind. Damit ist [mm] $I_1 \cap I_2 [/mm] = [mm] I_1 I_2$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Schnitt von Idealen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Do 26.11.2009
Autor: sTuDi_iDuTs

Der Prof. hatte aber gemeint, dass die Ideale nicht teilerfremd seien...
warum zieht man Ideale voneinander ab um zu zeigen, dass sie teilerfremd sind?

Bezug
                        
Bezug
Schnitt von Idealen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Do 26.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Der Prof. hatte aber gemeint, dass die Ideale nicht
> teilerfremd seien...

Sind sie aber. Man sieht schnell, dass [mm] $I_1 \cap I_2 [/mm] + [mm] I_3 [/mm] = [mm] K[x_1, x_2]$ [/mm] ist.

>  warum zieht man Ideale voneinander ab um zu zeigen, dass
> sie teilerfremd sind?

Es gilt genau dann $I + J = [mm] K[x_1, x_2]$, [/mm] wenn es $i [mm] \in [/mm] I$ und $j [mm] \in [/mm] J$ gibt mit $i + j = 1$.

Ich habe [mm] $i_1 [/mm] = [mm] X_1 \in I_1$ [/mm] und [mm] $i_2 [/mm] = [mm] -(X_1 [/mm] - 1) [mm] \in I_2$ [/mm] angegeben mit [mm] $i_1 [/mm] + [mm] i_2 [/mm] = 1$, woraus [mm] $I_1 [/mm] + [mm] I_2 [/mm] = [mm] K[x_1, x_2]$ [/mm] folgt.

LG Felix


Bezug
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