Schnitt zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 18.09.2011 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich habe einige Fragen bezüglich dem Schnitt zweier Ebenen. Es geht um dieses PDF- Dokument:
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vektorpdf/SchnittEbenen.pdf
Das Rechnen ist mir schon klar geworden. Da habe ich keine Probleme. Aber diesmal geht es mir um das Verstehen. Ich würde gerne jeden einzelnen Schritt verstehen, warum der gemacht wurde. Es fängt zum Beispiel schon damit an, warum man die beiden Normalenvektoren multipliziert (bzw. das Kreuzprodukt (?) anwendet). Oder warum als Stützvektor (x,y,z) genommen wird.
Es würde mich freuen, wenn mir jemand das alles mal erklären könnte. Am besten sogar in einer Grafik, falls es damit verständlicher ist. Ich weiß, man kann auch eine Ebene in die Parameterform umwandeln und die dann in die PNF einsetzen und dann ausrechnen.
Ich würde aber gerne die andere Variante verstehen. Vielen Dank schon mal im Vorraus.
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> Halihalo,
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> ich habe einige Fragen bezüglich dem Schnitt zweier
> Ebenen. Es geht um dieses PDF- Dokument:
>
> http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vektorpdf/SchnittEbenen.pdf
Hallo,
solche pdfs sind bei potentiellen Antwortgebern meist recht unbeliebt, weil sie viel mehr Aufwand beim Antworten machen: man muß sie runterladen, kann nicht kopieren und dazwischenschreiben. Lästig.
Daher nur kleine Hinweise:
>
> Das Rechnen ist mir schon klar geworden. Da habe ich keine
> Probleme. Aber diesmal geht es mir um das Verstehen. Ich
> würde gerne jeden einzelnen Schritt verstehen, warum der
> gemacht wurde. Es fängt zum Beispiel schon damit an, warum
> man die beiden Normalenvektoren multipliziert (bzw. das
> Kreuzprodukt (?) anwendet).
Das steht doch dort geschrieben.
Welche Eigenschaft hat denn der Vektor, denn man aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren erhält?
> Oder warum als Stützvektor
> (x,y,z) genommen wird.
Der Normalenvektor wurde errechnet.
Für die Ebenengleichung braucht man Normalen- und Stützvektor.
Den Stützvektor muß man nun suchen. Weil er unbekannt ist, besteht er aus Unbekannten, welche anschließend errechnet werden.
Gruß v. Angela
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> Es würde mich freuen, wenn mir jemand das alles mal
> erklären könnte. Am besten sogar in einer Grafik, falls
> es damit verständlicher ist. Ich weiß, man kann auch eine
> Ebene in die Parameterform umwandeln und die dann in die
> PNF einsetzen und dann ausrechnen.
>
> Ich würde aber gerne die andere Variante verstehen. Vielen
> Dank schon mal im Vorraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 25.09.2011 | | Autor: | Crashday |
Zum Kreuzprodukt: Also der neue Vektor steht senkrecht von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene. Ich kann es aber an dieser Skizze irgendwie gar nicht erkennen, dass der senkrecht steht...
Außerdem, wie kommt man auf diese Formel:
[mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Zum Kreuzprodukt: Also der neue Vektor steht senkrecht von
> den beiden Vektoren aufgespannten Ebene. Ich kann es aber
> an dieser Skizze irgendwie gar nicht erkennen, dass der
> senkrecht steht...
Das liegt daran, dass man den dreidimensionalen Raum nicht sauber auf das zweidimensionale Blatt packen kann.
>
> Außerdem, wie kommt man auf diese Formel:
> [mm]\vec{a}\times\vec{b}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}a_1 \\
a_2 \\
a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\
b_2 \\
b_3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,.[/mm]
>
Es gibt einige Herleitungen, man kann aber zeigen, dass:
[mm] $\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\cdot\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}=0
[/mm]
sowie
[mm] \begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\cdot\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}=0
[/mm]
Somit erfüllt dieser Vektor (und alle Vielfache davon) die geforderte Bedingung, die Orthogonalität zu beiden gegebenen Vektoren.
Marius
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