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Forum "Mengenlehre" - Schnitt zweier Mengen
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Schnitt zweier Mengen: Kurze Bestätigung bitte!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Di 20.04.2010
Autor: kegel53

Aufgabe
Zu zeigen: [mm] (B\setminus{A})\cap{(A\cap{B})}=\emptyset [/mm]

Hey Leute,

also ich hab mir das folgendermaßen gedacht:

[mm] (B\setminus{A})\cap{(A\cap{B})}=\{x|x\in B\land x\notin A\}\cap\{x|x\in B\land x\in A\}=\{x\in B|x\notin A\}\cap\{x\in B|x\in A\}=\{x\in B|x\notin A\land x\in A\}=\emptyset [/mm]

Ist das richtig so oder kann man noch etwas verbessern??
Danke schon mal!

        
Bezug
Schnitt zweier Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Di 20.04.2010
Autor: abakus


> Zu zeigen: [mm](B\setminus{A})\cap{(A\cap{B})}[/mm]

Was soll daran zu zeigen sein???
Welche Eigenschaft soll denn diese Mengenverknüpfung haben?
Das ist ungefähr so, als würdest du sagen: "Beweise 3x+4."
Gruß Abakus

>  Hey Leute,
>  
> also ich hab mir das folgendermaßen gedacht:
>  
> [mm](B\setminus{A})\cap{(A\cap{B})}=\{x|x\in B\land x\notin A\}\cap\{x|x\in B\land x\in A\}=\{x\in B|x\notin A\}\cap\{x\in B|x\in A\}=\{x\in B|x\notin A\land x\in A\}=\emptyset[/mm]
>  
> Ist das richtig so oder kann man noch etwas verbessern??
>  Danke schon mal!


Bezug
                
Bezug
Schnitt zweier Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Di 20.04.2010
Autor: kegel53

Sorry ich hab die leere Menge hinterm Gleichheitszeichen vergessen. Habs jetzt korrigiert. Kann ich dann das ganze so aufschreiben oderist da was nicht ganz in Ordnung??

Bezug
                        
Bezug
Schnitt zweier Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:02 Di 20.04.2010
Autor: abakus


> Sorry ich hab die leere Menge hinterm Gleichheitszeichen
> vergessen. Habs jetzt korrigiert. Kann ich dann das ganze
> so aufschreiben oderist da was nicht ganz in Ordnung??

Hallo, wenn man weiß, dass B [mm] \backslash [/mm] A [mm] =B\cap \overline{A} [/mm] ist, kann man das Ganze als [mm] B\cap \overline{A}\cap [/mm] A [mm] \cap [/mm] B schreiben, die Reihenfolge mit dem Kommutativgesetz verändern und als [mm] A\cap \overline{A}\cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] B schreiben, was sich zu [mm] \emptyset \cap [/mm] B vereinfachen lässt.
Gruß Abakus


Bezug
                                
Bezug
Schnitt zweier Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Di 20.04.2010
Autor: kegel53

Danke, aber ich weiß nicht, ob ich das einfach voraussetzen darf. Also wär schon klasse, wenn ich das so machen könnte wie ichs aufgeschrieben hab.
Oder darf ich das nicht so machen??

Bezug
        
Bezug
Schnitt zweier Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Di 20.04.2010
Autor: Blech

Hi,

>  
> [mm](B\setminus{A})\cap{(A\cap{B})}=\{x|x\in B\land x\notin A\}\cap\{x|x\in B\land x\in A\}=\{x\in B|x\notin A\}\cap\{x\in B|x\in A\}=\{x\in B|x\notin A\land x\in A\}=\emptyset[/mm]
>  
> Ist das richtig so oder kann man noch etwas verbessern??

Das funktioniert und ist richtig, aber ich würde trotzdem die schon von meinem Vorredner erwähnte Alternative vorschlagen.
Der Beweis für [mm] $B\setminus [/mm] A = [mm] B\cap A^c$ [/mm] ist kurz und grenzt schon fast an Trivialität und der resultierende Beweis für Deine Aufgabe ist eleganter. =)

ciao
Stefan


Bezug
                
Bezug
Schnitt zweier Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Di 20.04.2010
Autor: kegel53

Okay vielen Dank.

Bezug
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