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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Schnittebene einer Kugel
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Schnittebene einer Kugel: versauter Test
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Fr 08.04.2005
Autor: JoshHomme

Moin!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich hab folgende Ebene

E:- [mm] 2x_{1}+4x_{2}-3x_{3}+22=0 [/mm]

und die Kugel

[mm] k:x_{1} ^2+x_{2} ^2+x_{3} ^2-10x_{1}+6x_{2}+14x_{3}+54=0 [/mm]

gegeben.

Nun soll ich daraus feststellen ob die einander schneiden. Das bekomme ich hin. Könnte jemand mir mal erklären, wie ich daraus die Normalform erhalte? Das wär echt klasse!

Gruß Josh

        
Bezug
Schnittebene einer Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Fr 08.04.2005
Autor: Max


> Moin!

Hallo Josh,

[willkommenmr]


> Ich hab folgende Ebene
>  
> E:- [mm]2x_{1}+4x_{2}-3x_{3}+22=0[/mm]
>  
> und die Kugel
>  
> [mm]k:x_{1} ^2+x_{2} ^2+x_{3} ^2-10x_{1}+6x_{2}+14x_{3}+54=0[/mm]
>  
> gegeben.
>  
> Nun soll ich daraus feststellen ob die einander schneiden.
> Das bekomme ich hin. Könnte jemand mir mal erklären, wie
> ich daraus die Normalform erhalte? Das wär echt klasse!

Wie hast du denn überprüft ob sich Ebene und Kugel schneiden? Ich weiß jetzt nicht hundertprozentig was du mit Normalform meinst, sowas wie

$k: [mm] \left[ \vec{x} - \vec{m}\right]^2=r^2$ [/mm] oder was?
Wenn du das meinst kannst du an den Summanden [mm] $-10x_{1}+6x_{2}+14x_{3}$ [/mm] so wie bei einer quadratischen Gleichung den Vektor [mm] $\vec{m}$ [/mm] ablesen, denn es gilt: [mm] $\left[\vex{x}-\vec{m}\right]^2=\vec{x}^2 [/mm] - 2 [mm] \vec{x}\vec{m} [/mm] + [mm] \vec{m}^2$ [/mm] (wobei wir immer zwischen den entsprechenden Vektoren das Skalarprodukt meinen). Wenn man [mm] $\vec{m}$ [/mm] kennt kann man auch [mm] $\vec{m}^2$ [/mm] berechnen und us dem Rest  [mm] $r^2$ [/mm] bestimmen.

Gruß Brackhaus

PS: Super das du schon die Formel einsetzt!!! [daumenhoch]

Bezug
                
Bezug
Schnittebene einer Kugel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Fr 08.04.2005
Autor: JoshHomme

Ok. Ja, das meinte ich mit Normalform. Die Normalform kann ich daraus problemlos erstellen. Danke. Wie erhalte ich nun diese Form für die Ebene?

Bezug
                        
Bezug
Schnittebene einer Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Fr 08.04.2005
Autor: Max

Hallo Josh,

im Prinzip genauso, du weißt ja, dass

$E: [mm] \left[\vec{x}-\vec{p}\right] \bullet \vec{n}=0$ [/mm] die Normalform der Ebene ist. Wenn man das ausmultipliziert kommt man aus so was wie:

[mm] $\left[\vec{x}-\vec{p}\right] \bullet \vec{n}=0 \gdw \vec{x}\bullet \vec{n} [/mm] - [mm] \vec{p}\bullet \vec{n}=0 \gdw n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 [/mm] - [mm] \vec{p}\bullet\vec{n}=0$ [/mm]

wobei [mm] $\vec{p}\bullet\vec{n}$ [/mm] ja auch nur in Skalar, also eine Zahl ist. Dann solltest du durch Vergleich mit$E: [mm] -2x_1+4x_2-3x_3+22=0$ [/mm] auch schnell den Normalenvektor erkennen. Dann bestimmst du dir noch irgendeinen Punkt durch die Ebenengleichung und nimmst diesen für [mm] $\vec{p}$. [/mm] Fertig.

Gruß Brackhaus

Bezug
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