Schnittgerade von zwei Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:39 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Cherryl |
Die Punkte A(5/0/4) B(3/0/0) C(5/4/0) liegen in einer Ebene, die Punkte D(5/5/3) E(5/1/5) und F(3/5/5) ebenfalls.
Ziel der ganzen Aufgabe ist es, die Schnittgerade der beiden Ebenen zu bestimmen. Ich habe die Aufgabe zwar schon selber gerechnet, jedoch mache ich wahrscheinlich jedes Mal irgendwo einen Fehler rein, da meine Lösung nur zum Teil mit der vorgegebenen Lösung übereinstimmt.
Wäre also nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Beachte, daß die Gleichung einer Geraden im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] nicht eindeutig ist. Dein Ergebnis kann also richtig sein, obwohl es mit der Vorgabe nicht übereinstimmt.
Teste zunächst, ob deine Ebenengleichungen stimmen, indem du mit den Ebenenpunkten die Punktprobe machst. Wenn da kein Fehler ist, dann schreibe die Vektorgleichung deiner Geraden koordinatenweise: [mm]x_1 = \ldots \, , \ x_2 = \ldots \, , \ x_3 = \ldots[/mm] und setze die Terme in die Ebenengleichungen ein. Es müßte sich jedesmal eine Identität der Art [mm]3=3[/mm] oder [mm]0=0[/mm] oder ähnlich ergeben.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 03.10.2006 | | Autor: | Cherryl |
Das kann doch aber nicht bei fast allen Aufgaben so sein, dass es mehrere Lösungen gibt?!
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Es geht nicht darum, daß es mehrere Lösungsgeraden gibt (es gibt hier nur eine Lösungsgerade), sondern daß die vektorielle Darstellung dieser Lösungsgeraden nicht eindeutig ist. Man kann ja z.B. jeden Stützvektor durch einen andern Ortsvektor, der auf einen Geradenpunkt zeigt, ersetzen. Zudem darf man den Richtungsvektor durch jedes vom Nullvektor verschiedene skalare Vielfache desselben ersetzen. Diese Operationen ändern alle die Gerade nicht. So stellen z.B. die folgenden Vektorgleichungen dieselbe Gerade dar:
[mm]\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \nu \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
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