Schnittgeraden von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Di 26.08.2014 | | Autor: | Mojo123 |
| Aufgabe | Stellen sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2 auf.
E1: x+y-2z=-5
E2: 2x-y+z=4 |
Wie kommt man von der angegebenen koordinatenform zur, für die Aufgabe, benötigten Paramterform der Gleichungen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Di 26.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Stellen sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E1
> und E2 auf.
> E1: x+y-2z=-5
> E2: 2x-y+z=4
> Wie kommt man von der angegebenen koordinatenform zur,
> für die Aufgabe, benötigten Paramterform der Gleichungen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt (und mit Hilfe von zwei Punkten lässt sich auch die Parameterform aufstellen).
Die Aufgabe ist also so gut wie gelöst, wenn du zwei (von den unendlich vielen) gemeinsamen Punkten beider Ebenen ermitteln kannst.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 26.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo abakus,
> eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt (und
> mit Hilfe von zwei Punkten lässt sich auch die
> Parameterform aufstellen).
> Die Aufgabe ist also so gut wie gelöst, wenn du zwei (von
> den unendlich vielen) gemeinsamen Punkten beider Ebenen
> ermitteln kannst.
Und das würdest du allen Ernstes als Verfahren etwa für Klassenarbeit oder Prüfung empfehlen?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 26.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> > eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt (und
> > mit Hilfe von zwei Punkten lässt sich auch die
> > Parameterform aufstellen).
> > Die Aufgabe ist also so gut wie gelöst, wenn du zwei
> (von
> > den unendlich vielen) gemeinsamen Punkten beider Ebenen
> > ermitteln kannst.
>
> Und das würdest du allen Ernstes als Verfahren etwa für
> Klassenarbeit oder Prüfung empfehlen?
>
>
> Gruß, Diophant
Unbedingt!
Es hilft auch denen, die beim Lösen von unterbestimmten Gleichungssystemen Probleme haben weil sie Angst vor der Verwendung von Parametern haben.
Man setzt für eine der drei Variablen (z.B. x) eine möglichst "einfache" Zahl (z.B. x=0) ein und löst das verbleibende System für y und z.
So hat man den ersten Punkt. Jetzt ein anderes x wählen (z.B. x=1) und auch dafür y und z bestimmen.
Das "Schlimmste" was passieren kann ist, dass die Annahme x=0 zu keiner Lösung für y und z führt, aber dann kann man ja auch nach einem Ebenenpunkt suchen, dessen y- oder z-Koordinate 0 ist.
Letztendlich ist doch wohl davon auszugehen, dass der Fragesteller schon irgendein Verfahren kennengelernt hat (Unterricht, Skript), aber damit nicht zurechtkommt.
Gerade dein "Den Rest setze ich als bekannt voraus ..." ist ein sehr häufig anzutreffendes Wunschdenken vieler Lehrer.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 26.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo abakus,
> >
> > > eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt
> (und
> > > mit Hilfe von zwei Punkten lässt sich auch die
> > > Parameterform aufstellen).
> > > Die Aufgabe ist also so gut wie gelöst, wenn du zwei
> > (von
> > > den unendlich vielen) gemeinsamen Punkten beider
> Ebenen
> > > ermitteln kannst.
> >
> > Und das würdest du allen Ernstes als Verfahren etwa
> für
> > Klassenarbeit oder Prüfung empfehlen?
> >
> >
> > Gruß, Diophant
> Unbedingt!
> Es hilft auch denen, die beim Lösen von unterbestimmten
> Gleichungssystemen Probleme haben weil sie Angst vor der
> Verwendung von Parametern haben.
> Man setzt für eine der drei Variablen (z.B. x) eine
> möglichst "einfache" Zahl (z.B. x=0) ein und löst das
> verbleibende System für y und z.
so würde ich das nicht machen, sondern vorher schon den
Gaußalgorithmus anwenden. Ich habe das
hier
beschrieben. (Dort geht es mir aber nur um das Auffinden eines Punktes
der Schnittgeraden... vom Prinzip her macht man aber das Gleiche.)
Das am Ende resultierende Gleichungssystem zeigt nämlich durchaus
auch, welche Koordinate man frei wählen kann und - ggf. in anderen
Situationen - welche nicht frei wählbar ist. Zudem kann man direkt auch
erkennen, was eine *günstige Wahl* ist (z.B. will man vielleicht
gerne Brüche vermeiden, wenn möglich)...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Di 26.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo abakus,
die zentrale Frage im Themenstart ist die nach der Umwandlung Koordinatenform -> Parameterform. Von daher ist es doch legitim, davon auszugehen, dass der Rest bekannt ist. Wollen wir denn Fragenden hier
a) eher viel
oder
b) eher nichts
zutrauen???
Wenn es dann tatsächlich so wäre, wie du vermutest: dann sollte es in einer Frage auch so ausformuliert sein. Sonst bewegen wir uns nach und nach niveaumäßig* abwärts in Richtung anderer Matheforen...
*Ich meine das menschliche Niveau, nicht das fachliche.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 26.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo abakus,
>
> die zentrale Frage im Themenstart ist die nach der
> Umwandlung Koordinatenform -> Parameterform.
stimmt. Ich dachte aber eher, dass der Fragesteller dachte, dass er diese
zwingend benötigt. Meine Antwort zielt auch darauf ab, darauf hinzuweisen,
dass das nicht der Fall ist. (Ich finde es auch nicht verwerflich, wenn jemand
glaubt, dass er diese braucht.)
Nebenbei: Man kann auch mit einem Normalenvektor der Ebene schnell
eine Parameterform der Ebene erstellen. Diesen Weg könnte man auch
noch vorstellen. (Günstig, aber nicht zwingend notwendig, ist es dabei,
wenn man auch noch zwei [verschiedene] Punkte der Ebene kennt. Einen
braucht man aber mindestens. Wenn man zwei kennt, kennt man einen
Richtungsvektor der Ebenen. Dann bekommt man einen zweiten
Richtungsvektor, indem man das Kreuzprodukt des Normalenvektors mit
dem bekannten Richtungsvektor berechnet. Hier haben wir *den Vorteil*,
dass die Richtungsvektoren auch senkrecht zueinander stehen!)
P.S. Wieso kann man oben noch anders vorgehen? Naja, wenn der
Normalenvektor
[mm] $(r,s,t)^T \in \IR^3$
[/mm]
gegeben ist: Er kann nicht der Nullvektor sein. Wenn eine oder zwei
Koordinaten Null sind, dann kann man sofort einen Vektor senkrecht
dazu hinschreiben (z.B. ist [mm] $(0,1,0)^T$ [/mm] senkrecht zu [mm] $(r,0,t)^T\,$).
[/mm]
Wenn alle drei Koordinaten nicht 0 sind:
Bspw.
[mm] $(1,1,\tfrac{-r*s}{t})^T$
[/mm]
steht senkrecht auf [mm] $(r,s,t)^T\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Stellen sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E1
> und E2 auf.
> E1: x+y-2z=-5
> E2: 2x-y+z=4
> Wie kommt man von der angegebenen koordinatenform zur,
> für die Aufgabe, benötigten Paramterform der Gleichungen?
>
Darauf gibt es eine einfache Antwort: am Schnellsten auf die gleiche Art und Weise, wie man die Schnittgerade direkt ohne Umformung der Ebenengleichungen berechnet.
Variante 1:
Man setzt in jede der beiden Ebenegleichungen drei Zahlenpaare ein, bestimmt jeweils die fehlende Koordinate und erhält so für jede Ebene drei Punkte, mit denen man eine Parameterform aufstellt. Den Rest setze ich als bekannt voraus (Gleichsetzen, unterbesteimmtes LGS in Abhängigkeit eines Parameters lösen). Dies ist die umständlichste Variante.
Variante 2:
Man betrachtet in jeder der beiden Ebengleichungen zwei der drei Variablen als Parameter, etwa y=u und z=v. Man bekommt dann x in Abhämgigkeit von u und v und kann mit
[mm] \vec{x}=\vektor{x\\y\\z}=\vektor{x(u,v)\\u\\v}
[/mm]
für jede der beiden Ebenen eine Parameterform bestimmen. Weiter geht es dann wie bei Variante 1. Insgesamt schon weniger aufwändig, jedoch es folgt
Variante 3:
Man betrachtet die beiden Ebenengleichungen (in Koordinatenform) als LGS. Dieses LGS ist einfach überbestimmt, da es aus zwei Gleichungen für drei Unbekannte besteht. Im Falle der Existenz einer Schnittgeraden wird man dieses LGS in Abhängigkeit eines Parameters darstellen können, da nämlich eine Gerade ein eindimensionales Objekt und die Lösungsmenge des LGS nichts anderes als die Menge aller Punkte der Schnittgeraden ist. Setze also etwa z=u und berechne Lösungen der Form x(u) und y(u) für die beiden anderen Variablen. Wenn du damit wieder in
[mm] \vec{x}=\vektor{x(u)\\y(u)\\u}
[/mm]
eingehst, erhältst du aus dem einfachen Gruind eine Geradengleichung, weil rechts nur noch ein Parameter auftritt. Diese Gleichung beschreibt die gesuchte Schnittgerade und der beschriebene Weg ist für dein Problem der schnellte Lösungsweg.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 26.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Stellen sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E1
> und E2 auf.
> E1: x+y-2z=-5
> E2: 2x-y+z=4
> Wie kommt man von der angegebenen koordinatenform zur,
> für die Aufgabe, benötigten Paramterform der Gleichungen?
die Parameterform brauchst Du gar nicht. Bringe die Ebenen in die
![[]](/images/popup.gif) Hessesche Normalform
bzw. es reicht
$E [mm] \colon$ $\vec{n} \bullet (\vektor{x\\y\\z}-\vec{a})=0$
[/mm]
zu schreiben. Dabei ist [mm] $\vec{a}$ [/mm] so, dass [mm] $\vec{a}^T=A$ [/mm] ein Punkt der Ebene
ist.
Beispiel:
[mm] $E_1 \colon$ [/mm] $x+y-2z=-5$
kann wegen $(-5,0,0) [mm] \in E_1$ [/mm] zu
[mm] $E_1 \colon$ $\vektor{1\\1\\-2} \bullet (\vektor{x\\y\\z}-\vektor{-5\\0\\0})=0$
[/mm]
umgeschrieben werden.
Dabei steht
[mm] $\vektor{1\\1\\-2}$
[/mm]
senkrecht auf [mm] $E_1\,.$
[/mm]
Du bekommst somit oben zwei Vektoren (wie sieht ein Vektor senkrecht auf
[mm] $E_2$ [/mm] wohl aus?), wobei der erste senkrecht auf [mm] $E_1$ [/mm] und der zweite senkrecht
auf [mm] $E_2$ [/mm] steht. Die Schnittgerade verläuft in beiden Ebenen, folglich muss
ein (jeder ihrer) Richtungsvektor(en) senkrecht auf diese beiden Vektoren
stehen. Man bekommt im [mm] $\IR^3$ [/mm] einen Vektor senkrecht auf [mm] $\vec{a},\vec{b},$ [/mm] indem man [mm] $\vec{a} \times \vec{b}$ [/mm]
(Kreuzprodukt) berechnet!
Jetzt brauchst Du nur noch einen gemeinsamen Punkt von [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2\,:$
[/mm]
Ist Dir klar, wie man solch einen schnell berechnet?
(Im übrigen basiert Abakus Hinweis auf dieser Überlegung, die er aber
vielleicht ergänzen hätte sollen.)
Ein Lösungstripel [mm] $(x,y,z)\,$ [/mm] charakterisiert durch die beiden Gleichungen
[mm] $x+y-2z=-5\,$ [/mm] und [mm] $2x-y+z=4\,$
[/mm]
wird auch durch
[mm] $x+y-2z=-5\,$ [/mm] und [mm] $3x-z=-1\,$
[/mm]
charakterisiert. (Gaußverfahren!) Wenn ich etwa [mm] $x\,$ [/mm] wähle, dann kann
ich $z,$ berechnen und sodann auch [mm] $y\,.$
[/mm]
Bei Abakus: Er wählt zwei verschiedene [mm] $x\,$ [/mm] und berechnet sodann die
zugehörigen Punkte.
Gruß,
Marcel
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