Schnittgeraden zweier Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Aufgabe:
Man soll die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen:
E1: 3(x-2)+(y-5)+2(z-6)
E2: 2(x-1)+3(z-1)
Umwandlung der Gleichungen in die Parameterform:
E1: 3x+y+2z=23
umgestellt nach y:
y=-3x-2z+23
Parameter einführen:
x=u
z=v
y=-3u-2v+23
Aufstellen der Parameterform:
[mm] \vektor{x\\y\\z}= \vektor{0\\23\\0}+v\vektor{0\\-2\\1}+u\vektor{1\\-3\\0}
[/mm]
soweit korrekt?
E2: 2x+3z=5
umstellen nach x:
[mm] x=-\bruch{3}{2}z+\bruch{5}{2}
[/mm]
Parameter einführen:
z=t
y ist eh 0
[mm] x=-\bruch{3}{2}t+\bruch{5}{2}
[/mm]
Aufstellen der Paramterform:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{\bruch{5}{2}\\0\\0}+t\vektor{-\bruch{3}{2}\\0\\1}
[/mm]
soweit korrekt?
Nun setzte ich beide Ebenen gleich und bringe den parameterfreien Voktor auf die rechte Seite und die parameterbehafteten Vektoren auf die linke Seite:
[mm] v\vektor{0\\-2\\1}+u\vektor{1\\-3\\0}+t\vektor{\bruch{3}{2}\\0\\-1}=\vektor{\bruch{5}{2}\\-23\\0}
[/mm]
Daraus nun ein Gleichungssystem:
1: [mm] u+\bruch{3}{2}t=\bruch{5}{2}
[/mm]
2: -2v-3u=-23
3: v-t=0 -> v=t
Die erste Gleichung multiplizier ich mit 3.
1.1: [mm] 3u+v\bruch{9}{2}=\bruch{15}{2}
[/mm]
die zweite Gleichung lautet.
2.1: -3u-2v=-23
nun addiere ich beide Gleichungen und für v kommt raus:
[mm] v=-\bruch{31}{5}
[/mm]
das setzte ich nun für v in die Ebenenegleichung E1 in Paramterform ein und habe damit die Geradengleichung.
g: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\\bruch{177}{5}\\-\bruch{31}{5}}+u\vektor{1\\-3\\0}
[/mm]
Korrekt?
Es ist also möglich, dass eine Ebenengleichung herauskommt, die überhaupt nicht mit der Lösung überein stimmt. Es gibt also unendlich viel mögliche Ebenengleichungen. Korrekt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 09.08.2005 | | Autor: | statler |
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe folgende Aufgabe:
>
> Man soll die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen:
>
> E1: 3(x-2)+(y-5)+2(z-6)
> E2: 2(x-1)+3(z-1)
>
Das soll wohl in beiden Gln. = 0 heißen.
> Umwandlung der Gleichungen in die Parameterform:
>
> E1: 3x+y+2z=23
> umgestellt nach y:
> y=-3x-2z+23
> Parameter einführen:
> x=u
> z=v
> y=-3u-2v+23
> Aufstellen der Parameterform:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}= \vektor{0\\23\\0}+v\vektor{0\\-2\\1}+u\vektor{1\\-3\\0}[/mm]
>
> soweit korrekt?
>
Ja.
> E2: 2x+3z=5
> umstellen nach x:
> [mm]x=-\bruch{3}{2}z+\bruch{5}{2}[/mm]
> Parameter einführen:
> z=t
> y ist eh 0
> [mm]x=-\bruch{3}{2}t+\bruch{5}{2}[/mm]
> Aufstellen der Paramterform:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{\bruch{5}{2}\\0\\0}+t\vektor{-\bruch{3}{2}\\0\\1}[/mm]
> soweit korrekt?
>
Klar. Nicht klar, ein voller Bauch studiert bekanntlich nicht gern. Das Ding ist keine Ebene, kann also nicht E2 sein. y kann beliebig sein, also fehlt da noch ein Vielfaches des Vektors (0/1/0), also + s mal (0/1/0). Dann hat man 2 Ebenen, die man schneiden muß usw. Hätte ich bloß die Probe gemacht, statt sie nur zu empfehlen. Nun bist du wieder dran!
> Nun setzte ich beide Ebenen gleich (Das ist eine etwas laxe Sprache.) und bringe den
> parameterfreien Voktor auf die rechte Seite und die
> parameterbehafteten Vektoren auf die linke Seite:
>
> [mm]v\vektor{0\\-2\\1}+u\vektor{1\\-3\\0}+t\vektor{\bruch{3}{2}\\0\\-1}=\vektor{\bruch{5}{2}\\-23\\0}[/mm]
>
> Daraus nun ein Gleichungssystem:
> 1: [mm]u+\bruch{3}{2}t=\bruch{5}{2}[/mm]
> 2: -2v-3u=-23
> 3: v-t=0 -> v=t
>
> Die erste Gleichung multiplizier ich mit 3.
> 1.1: [mm]3u+v\bruch{9}{2}=\bruch{15}{2}[/mm]
> die zweite Gleichung lautet.
> 2.1: -3u-2v=-23
>
> nun addiere ich beide Gleichungen und für v kommt raus:
> [mm]v=-\bruch{31}{5}[/mm]
> das setzte ich nun für v in die Ebenenegleichung E1 in
> Paramterform ein und habe damit die Geradengleichung.
>
> g:
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\\bruch{177}{5}\\-\bruch{31}{5}}+u\vektor{1\\-3\\0}[/mm]
> Korrekt?
Wenn wir nicht beide den gleichen Rechenfehler gemacht haben, dann ja. Man könnte eine Probe machen, indem man u = 0 und u = 1 setzt und prüft, ob die erhaltenen Punkte in beiden Ebenen liegen. Dann natürlich auch die ganze Gerade!
>
> Es ist also möglich, dass eine Ebenengleichung herauskommt,
> die überhaupt nicht mit der Lösung überein stimmt. Es gibt
> also unendlich viel mögliche Ebenengleichungen. Korrekt?
Das verstehe ich jetzt leider nicht mehr. Herausgekommen ist doch eine Geradengleichung in Parameterform, also Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor. Wenn eine Ebenengleichung herauskommt, wenn also die Schnittmenge der beiden Ebenen wieder eine Ebene ist, dann sind alle Ebenen als Punktmengen gleich, nur die Darstellungen unterscheiden sich evtl. Es könnte auch noch die leere Menge herauskommen, wann passiert das wohl?
Einigermaßen klar?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Danke für die promte Antwort!!!
Wie kann ich dann überprüfen, ob die Geradengleichung, die in der Lösung angegeben ist:
r: [mm] \vektor{0\\\bruch{59}{3}\\\bruch{5}{3}}+\lambda\vektor{3\\-5\\-2}
[/mm]
eben mit meiner übereinstimmt.
Da mein Rechenweg ja zu einer "völlig anderen" Geradengleichung kommt, bin ich also verunsichert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 09.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chrischaan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Variante 1:
Berechne doch einfach mal zwei Punkte aus der einen Geradengleichung und setze diese Punkte in die andere Geradengleichung ein.
Variante 2:
Die beiden Richtungsvektoren der Geradengleichungen müssen ja linear abhängig sein, d.h. es muß gelten: [mm] $\vec{r}_1 [/mm] \ = \ [mm] \kappa*\vec{r}_2$ [/mm] .
Zudem muss der eine Stützpunkt auch die andere Geradengleichung erfüllen.
Mit beiden Varianten kannst Du nachweisen, dass es sich um identische Geraden handelt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Di 09.08.2005 | | Autor: | Chrischaan |
Der Stützvektor liegt nicht in beiden Ebenen..damit ist das Ergebins falsch..nur, wo liegt der Fehler...am schnellesten und sichersten ist es dann wirklich, wenn man die Parameter der Ebene 1 ermittelt hat, sie in die Ebenengleichung 2 einzusetzen..
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Di 09.08.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Krischaan,
Deine Fehler war, dass du die Ebene [mm] E_2 [/mm] nicht korrekt in eine Parametergleichung umgewandelt hast. Dein Ergebnis war die Gleichung einer geraden. Du durftest nicht y gleich 0 setzen.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Di 09.08.2005 | | Autor: | Chrischaan |
Richtig...da war doch noch was...Danke für die Korrektur...meine Schnittgeradengleichung lautet nun:
[mm] g:\vektor{\\\bruch{5}{2}\\\bruch{31}{2}\\0}+t\vektor{\\-\bruch{3}{2}\\\bruch{5}{2}\\1}
[/mm]
Und wen ich den Stützvektor dann in beide Ebenen einsetzte stimmen beide Gleichungen!!
Dankeschön!!!
|
|
|
| |
|
Ich muss mich in die Diskussion nun auch einmischen. Wieso machst du das von Anfang an so umständlich ?
Gegeben seien die Ebenen
E1: 3x + y + 2z = 23 und
E2: 2x + 3z = 5
Setze: z = t
es folgt: 2x + 3t = 5
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 5/2 - 3/2t
und: 3( 5/2 - 3/2 t) + y + 2t = 23
[mm] \Rightarrow [/mm] y= 15,5 + 2,5
somit kann die Schnittgerade der beiden Ebenen angegeben werden:
g: [mm] \vektor{ \bruch{5}{2} \\ \bruch{31}{2} \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{ \bruch{-3}{2} \\ \bruch{5}{2} \\ 1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo svenchen!
Klitze-kleiner Tippfehler Deinerseits ...
> und: 3( 5/2 - 3/2 t) + y + 2t = 23
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= 15,5 + 2,5
Hier hast Du den Parameter $t_$ unterschlagen. Es muß heißen:
$y \ = \ [mm] 15,5+2,5*\red{t}$
[/mm]
Das gilt natürlich auch für die andere Antwort ...
(Warum hast Du es eigentlich gleich zwei-mal gepostet? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") )
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Mi 10.08.2005 | | Autor: | svenchen |
ja, habs vom papier falsch abgeschrieben, da hatte ich es mal testweise gerechnet.
habe zwei mal geschrieben, weil das erste falsch eingeordnet war. ich bin neu hier im forum und die navigation ist nicht so wie üblich. is zwar ne gute sache, aber gewöhnungsbedürftig.
So, wenn man doch schon die Koordinatenformen von zwei Ebenen hat, wieso dann in Parametergleichung umwandeln??? Ich mache es sogar immer umgekehrt. Parametergleichungen von Ebenen sind die "fieseste" Form.
MfG
svenchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Chrischaan |
Wieso sooo umständlich..meine Güte...ich lerne eben...nun auch, wie man es noch schneller machen kann!!...Ausserdem trainiert der ausführliche Weg einiges...stecke ja nicht so tief drin in der Matetie, wie Du vielleicht gerade im Kurssystem...
Danke für die Aufmerksamkeit.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 09.08.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Chrischaan
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe folgende Aufgabe:
>
> Man soll die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen:
>
> E1: 3(x-2)+(y-5)+2(z-6)
> E2: 2(x-1)+3(z-1)
>
> Umwandlung der Gleichungen in die Parameterform:
>
> E1: 3x+y+2z=23
> umgestellt nach y:
> y=-3x-2z+23
> Parameter einführen:
> x=u
> z=v
> y=-3u-2v+23
> Aufstellen der Parameterform:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}= \vektor{0\\23\\0}+v\vektor{0\\-2\\1}+u\vektor{1\\-3\\0}[/mm]
>
> soweit korrekt?
>
> E2: 2x+3z=5
Du kannst dir die Umformung von [mm] E_2 [/mm] sparen. Viel schneller geht es, wenn du jetzt die die x- und z-Komponente von [mm] E_1 [/mm] in die Gleichung von [mm] E_2 [/mm] einsetzt:
[mm] 2u + 3v = 5[/mm]
[mm] \gdw u = - 1,5 v + 2,5 [/mm]
Diesen Wert für u setzt du jetzt in die Parameterform von [mm] E_1 [/mm] ein.
Als Ergebnis für die Schnittgerade solltest du erhalten:
[mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{2,5\\15,5\\0}+v\vektor{-1,5\\2,5\\0}[/mm]
> umstellen nach x:
> [mm]x=-\bruch{3}{2}z+\bruch{5}{2}[/mm]
> Parameter einführen:
> z=t
> y ist eh 0
Der Koeffizient von y ist 0, y kann jede reelle Zahl annehmen
> [mm]x=-\bruch{3}{2}t+\bruch{5}{2}[/mm]
> Aufstellen der Paramterform:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{\bruch{5}{2}\\0\\0}+t\vektor{-\bruch{3}{2}\\0\\1}[/mm]
> soweit korrekt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Deine Gleichung ist die Gleichung einer Geraden.
>
> Nun setzte ich beide Ebenen gleich und bringe den
> parameterfreien Voktor auf die rechte Seite und die
> parameterbehafteten Vektoren auf die linke Seite:
>
> [mm]v\vektor{0\\-2\\1}+u\vektor{1\\-3\\0}+t\vektor{\bruch{3}{2}\\0\\-1}=\vektor{\bruch{5}{2}\\-23\\0}[/mm]
>
> Daraus nun ein Gleichungssystem:
> 1: [mm]u+\bruch{3}{2}t=\bruch{5}{2}[/mm]
> 2: -2v-3u=-23
> 3: v-t=0 -> v=t
>
> Die erste Gleichung multiplizier ich mit 3.
> 1.1: [mm]3u+v\bruch{9}{2}=\bruch{15}{2}[/mm]
> die zweite Gleichung lautet.
> 2.1: -3u-2v=-23
>
> nun addiere ich beide Gleichungen und für v kommt raus:
> [mm]v=-\bruch{31}{5}[/mm]
> das setzte ich nun für v in die Ebenenegleichung E1 in
> Paramterform ein und habe damit die Geradengleichung.
>
> g:
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\\bruch{177}{5}\\-\bruch{31}{5}}+u\vektor{1\\-3\\0}[/mm]
> Korrekt?
Setzt doch mal die Koordinaten des Stützvektors in deine Ebenengleichungen ein. Die Schnittgerade muss doch in beiden Ebenen liegen.
>
> Es ist also möglich, dass eine Ebenengleichung herauskommt,
> die überhaupt nicht mit der Lösung überein stimmt. Es gibt
> also unendlich viel mögliche Ebenengleichungen. Korrekt?
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Di 09.08.2005 | | Autor: | Chrischaan |
Danke für die Antwort...der Stützvektor meiner Lösung liegt nicht in beiden Ebenen. Damit ist meine Lösung nach Schema f falsch. Nur wo liegt der Fehler?...Ich weiß es nicht...Werde mir wohl Ihre Methode aneignen.
Danke
|
|
|
| |
|
bor, ich kommm mit der Navigation noch nich so zurecht, hier muss das hin :) also nochmal:
Ich muss mich in die Diskussion nun auch einmischen. Wieso machst du das von Anfang an so umständlich ?
Gegeben seien die Ebenen
E1: 3x + y + 2z = 23 und
E2: 2x + 3z = 5
Setze: z = t
es folgt: 2x + 3t = 5
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 5/2 - 3/2t
und: 3( 5/2 - 3/2 t) + y + 2t = 23
[mm] \Rightarrow [/mm] y= 15,5 + 2,5
somit kann die Schnittgerade der beiden Ebenen angegeben werden:
g: [mm] \vektor{ \bruch{5}{2} \\ \bruch{31}{2} \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{ \bruch{-3}{2} \\ \bruch{5}{2} \\ 1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Loddar |
.
Siehe meine Anmerkung oben ...
Gruß
Loddar
|
|
|
|
