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Schnittmenge: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mi 16.10.2013
Autor: EGF

Aufgabe
Seien M, N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Weiter seien A und B Teilmengen von M und C und D Teilmengen von N.
Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel) folgende Aussagen:
a) f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
b) [mm] f^{-1}(C \cap [/mm] D) = [mm] f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cap f^{-1} [/mm] (D)

Guten Abend =)
Folgende Aufgabe hat mein Freund heute aus seiner Vorlesung mitgebracht. Und irgendwie stehen wir beide auf dem Schlauch..

bei a haben wir bisher:

Zu zeigen:

[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N: (y [mm] \in [/mm]  f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))
Es gelte:  (y [mm] \in [/mm]  f(A [mm] \cap [/mm] B)
per Definition existiert dann ein x [mm] \in [/mm]  A [mm] \cap [/mm] B : f(x) = y
[mm] \gdw (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x) = y)  und [mm] (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B : f(x) = y)
[mm] \gdw [/mm] y = f(A)  und y= f(B) per Definition folgt dann:
y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)

Ist das so korrekt? Wenn ja.. kann uns bitte jemand bei b helfen?
Da sind ja Urbilder gemeint oder? Geht das dann nicht genauso?

Danke im voraus!



Wie immer steht die Frage nur hier im Forum ;)

        
Bezug
Schnittmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Do 17.10.2013
Autor: hippias


> Seien M, N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Weiter
> seien A und B Teilmengen von M und C und D Teilmengen von
> N.
>  Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel)
> folgende Aussagen:
>  a) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>  b) [mm]f^{-1}(C \cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)
>  Guten Abend =)
>  Folgende Aufgabe hat mein Freund heute aus seiner
> Vorlesung mitgebracht. Und irgendwie stehen wir beide auf
> dem Schlauch..
>  
> bei a haben wir bisher:
>  
> Zu zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N: (y [mm]\in[/mm]  f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm]
> f(B))
>  Es gelte:  (y [mm]\in[/mm]  f(A [mm]\cap[/mm] B)
>  per Definition existiert dann ein x [mm]\in[/mm]  A [mm]\cap[/mm] B : f(x) =
> y
>  [mm]\gdw (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : f(x) = y)  und [mm] > (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B :

Dieses [mm] $\iff$ [/mm] ist klaerungsbeduerftig: Denn links hast Du ein $x$, das in $A$ und $B$ liegt, waehrend Du rechts ein $x$ aus $A$ hast und ein moeglicherweise verschiedenes $x'$ aus $B$. Also die [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Richtung ist klar, aber [mm] $\Leftarrow$ [/mm] nicht.

> f(x) = y)
>  [mm]\gdw[/mm] y = f(A)  und y= f(B) per Definition folgt dann:
>  y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>  
> Ist das so korrekt? Wenn ja.. kann uns bitte jemand bei b
> helfen?
>  Da sind ja Urbilder gemeint oder?

Ja.

> Geht das dann nicht
> genauso?

Geht so aehnlich.

>  
> Danke im voraus!
>  
>
>
> Wie immer steht die Frage nur hier im Forum ;)


Bezug
        
Bezug
Schnittmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:40 Fr 18.10.2013
Autor: tobit09

Hallo EGF!


> Seien M, N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Weiter
> seien A und B Teilmengen von M und C und D Teilmengen von
> N.
>  Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel)
> folgende Aussagen:
>  a) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>  b) [mm]f^{-1}(C \cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)


> bei a haben wir bisher:
>  
> Zu zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N: (y [mm]\in[/mm]  f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm]
> f(B))

Das wird dir nicht gelingen, denn es stimmt im Allgemeinen nicht.

>  Es gelte:  (y [mm]\in[/mm]  f(A [mm]\cap[/mm] B)
>  per Definition existiert dann ein x [mm]\in[/mm]  A [mm]\cap[/mm] B : f(x) =
> y
>  [mm]\gdw (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : f(x) = y)  und [mm](\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B :
> f(x) = y)

Hier geht es schief. Die Implikation [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist nicht nur klärungsbedürftig, sondern im Allgemeinen falsch.

>  [mm]\gdw[/mm] y = f(A)  und y= f(B)

[mm] $y\in [/mm] f(A)$ und [mm] $y\in [/mm] f(B)$ meinst du.

> per Definition folgt dann:
>  y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)

Beachte, dass du für alle Objekte $y$ die Äquivalenz

     [mm] $y\in f(A\cap B)\iff y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$

zeigen müsstest (wenn das denn zuträfe).
Dazu würden ZWEI Richtungen gehören.
Du hast nur die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] formuliert.


> kann uns bitte jemand bei b
> helfen?
>  Da sind ja Urbilder gemeint oder?

Ja.

> Geht das dann nicht
> genauso?

Ich würde nicht sagen, dass das "genauso" geht, auch wenn die Grundvorgehensweise die gleiche ist:
Zeige, dass für alle Objekte $x$ die Aussagen [mm] $x\in f^{-1}(C\cap [/mm] D)$ und [mm] $x\in f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$ [/mm] äquivalent sind.


Viele Grüße
Tobias

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