Schnittmenge Gerade+Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe eine allgemeine Frage, wie kann ich denn die Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene bestimmen?
In meinem Mathebuch habe ich leider nichts darüber gefunden :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe eine allgemeine Frage, wie kann ich denn die
> Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene bestimmen?
> In meinem Mathebuch habe ich leider nichts darüber
> gefunden :/
Du solltest vielleicht mal sagen, was fuer einen mathematischen Hintergrund du hast.
Geraden und Ebenen sind affine Vektorraeume der Dimension 1 bzw. 2.
Sprich: Wenn sie sich schneiden, dann ist die Schnittmenge entweder von Dimension 0 (ein Punkt) oder Dimension 1 (wenn die Gerade in der Ebene liegt).
Wenn du die Gerade $g$ und Ebene $E$ explizit gegeben hast, also $g = [mm] a_G [/mm] + K v$ und $E = [mm] a_E [/mm] + [mm] w_1 [/mm] K + [mm] w_2 [/mm] K$, wobei $K$ der Koerper ist, so kannst du das lineare Gleichungssystem [mm] $a_G [/mm] + [mm] \lambda [/mm] v = [mm] a_E [/mm] + [mm] w_1 \mu_1 [/mm] + [mm] w_2 \mu_2$ [/mm] loesen, [mm] $\lambda, \mu_1, \mu_2 \in [/mm] K$. Als Ergebnis erhaelst du entweder die leere Menge, dann schneiden sie sich nicht, oder die Parametermenge fuer den/die Schnittpunkt(e).
Oder wenn du sie implizit gegeben hast (im $n$-dimensionalen Raum), dann hast du fuer die Gerade $n-1$ lineare Gleichungen und fuer die Ebene $n-2$ lineare Gleichungen. Diese schreibst du zusammen in ein Gleichungssystem und loest dieses. Als Ergebnis erhaelst du die Schnittmenge, also entweder die leere Menge, ein Punkt oder die Gerade selber.
LG Felix
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