Schnittmenge von zwei Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Do 14.06.2007 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | | wie prüfe ich ob die ebenen parallel oder identisch sind oder ob sie sich in einer schnittgeraden schneiden?? |
x1 + x2 - x3 =1
4x1 - x2 - x3=3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Do 14.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Parallel sind sie, wenn die Normalenvektoren (Koeffizienten aus der Ebenengleichung) linear Abhängig sind.
Identisch: Wenn die Gleichungen gleich sind (evtl. noch mit einer Zahl multipliziert)
Ansonsten haben die immer eine Schnittgerade.
In der Schule wurde sowas glaub ich mit dem Gaußverfahren gelöst.
Grüße
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 14.06.2007 | | Autor: | Rambo |
danke, aber mein problem ist es, das ich nicht weiß wie ich genau vorgehen muss da in den anderen ebengleichungen normalerweise lamda und mu vorkommen, nur weiß ich nicht wie man hier vorgehen muss?
Danke!
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Hallo Marc!
> danke, aber mein problem ist es, das ich nicht weiß wie ich
> genau vorgehen muss da in den anderen ebengleichungen
> normalerweise lamda und mu vorkommen, nur weiß ich nicht
> wie man hier vorgehen muss?
>
> Danke!
Wie du vorgehen musst hat Max dir schon gesagt. Die Frage nach der Parallelität lässt sich sehr schnell klären: Die Normalenvektoren der beiden Ebenen lauten [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ -1}. [/mm] Wenn du nachweisen kannst, dass diese Vektoren kollinear sind, dann liegen die Ebenen parallel zueinander (echt parallel bzw. identisch). Wenn die Normalenvektoren nicht kollinear sind, dann liegen die Ebenen schief zueinander und müssen sich zwangsläufig in einer Geraden schneiden (Schnittgerade).
Für die Ermittlung der Schnittgerade könntest du dir die Ebenen in die Parameterform umwandeln. Dafür brauchst du jeweils 3 Punkte der Ebene. Diese kannst du ermittlen, indem du die Koordinatenform benutzt. Finde 3 verschieden Kombinationen, welche die Gleichung der Ebene erfüllen. Zum Beispiel für die erste Ebene:
[mm]1*x_{1}+1*x_{2}-1*x_{3}=1 \rightarrow 1*(1)+1*(1)-1*(1)=1 \rightarrow Punkt A\vektor{1 \\ 1 \\ 1}; [/mm]
[mm]1*(1)+1*(0)-1*(0)=1 \rightarrow Punkt B \vektor{1 \\ 0 \\ 0};[/mm]
[mm]1*(0)+1*(1)-1*(0)=1 \rightarrow Punkt C \vektor{0 \\ 1 \\ 0};[/mm]
Damit könntest du nun die Parameterform der Ebene aufstellen und diese dann in die andere Ebenengleichung einsetzen um dann die Schnittgerade zu ermitteln.
Wenn du noch Fragen dazu hast: her damit! 
Gruß,
Tommy
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