Schnittpkt und Winkel mehrdim < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Kosinus des Schnittwinkels zwischen der Kurve f: [0,1] [mm] \to \IR^{2}, f(t)=(t^{2}, t^{3}) [/mm] und der Geraden g: [mm] \IR \to \IR^{2}, [/mm] g(t)=(t,1). |
Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß nicht wie ich den Schnittpunkt der beiden Kurven bestimme.
Muss ich Komponentenweise gleichsetzen? Also [mm] t^{2}=t [/mm] und [mm] t^{3}=1 [/mm] ?
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> Berechnen Sie den Kosinus des Schnittwinkels zwischen der
> Kurve f: [0,1] [mm]\to \IR^{2}, f(t)=(t^{2}, t^{3})[/mm] und der
> Geraden g: [mm]\IR \to \IR^{2},[/mm] g(t)=(t,1).
> Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß nicht wie ich den
> Schnittpunkt der beiden Kurven bestimme.
> Muss ich Komponentenweise gleichsetzen? Also [mm]t^{2}=t[/mm] und
> [mm]t^{3}=1[/mm] ?
Hallo Calculu,
zuallererst solltest du bei einer der beiden Kurven für
den Parameter einen anderen Buchstaben als t verwenden.
Nachher kannst du wie geplant vorgehen.
Beachte auch, dass es in einer solchen Situation allenfalls
auch gar keinen oder mehr als einen Schnittpunkt geben
könnte.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechnen Sie den Kosinus des Schnittwinkels zwischen der
> Kurve f: [0,1] [mm]\to \IR^{2}, f(t)=(t^{2}, t^{3})[/mm] und der
> Geraden g: [mm]\IR \to \IR^{2},[/mm] g(t)=(t,1).
> Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß nicht wie ich den
> Schnittpunkt der beiden Kurven bestimme.
> Muss ich Komponentenweise gleichsetzen? Also [mm]t^{2}=t[/mm] und
> [mm]t^{3}=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Nein!
Du hast hier die Parameterdarstellung zweier ebener Kurven gegeben und es ist völlig in Ordnung und auch gängig, dass in beiden Fällen der formale Parameter $\;t$ heißt.
Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
$\exists{\ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}\mbox{ mit }f(t_1)=g(t_2)$.
Die aktuellen Parameter t_1 und t_2 müssen und werden in aller Regel auch nicht gleich sein, wie du irrtümlich angenommen hast.
Du hast in deinem Fall also das nichtlineare Gleichungssystem
$\begin{cases} t_1^2=t_2\\ t_1^3=1\end{cases} \text{ mit } \ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}$
zu lösen und das ist denkbar einfach.
Anmerkung: Der Graph von f stellt übrigens eine sog. Neil'sche Parabel (semikubische Parabel) dar und g natürlich eine waagrechte Gerade. Damit reduziert sich die Aufgabe auf die Bestimmung des Anstiegswinkels $\alpha=56,31^\circ$ der Neil'schen Parabel im Schnittpunkt.
Oder wird von dir erwartet, den genauen Wert $cos(\alpha)=\br{2}{\wurzel{13}}=\br{2*\wurzel{13}}{13}$ anzugeben?
Gruß RMix
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> Du hast hier die Parameterdarstellung zweier ebener Kurven
> gegeben und es ist völlig in Ordnung und auch gängig,
> dass in beiden Fällen der formale Parameter [mm]\;t[/mm] heißt.
>
> Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
>
> [mm]\exists{\ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}\mbox{ mit }f(t_1)=g(t_2)[/mm].
>
> Die aktuellen Parameter [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] müssen und werden in
> aller Regel auch nicht gleich sein, wie du irrtümlich
> angenommen hast.
Hallo RMix,
ich dachte, ich hätte das Wesentliche schon ganz kurz und
klipp und klar gesagt. Es geht einfach darum, dass man für
die Schnittpunktberechnung nicht einfach für die "aktuellen"
Parameter, wie du sie nennst, nicht ein und dieselbe Variable
benützt.
Ob man dann (wie du) gerne mit indizierten Variablen [mm] t_1 [/mm] und
[mm] t_2 [/mm] hantiert oder die Tatsache benützt, dass es in unserem
Alphabet noch andere Buchstaben als das t gibt, ist doch
einerlei. Nach meinem Geschmack ist es in so einer Situation
angenehmer, ein Gleichungssystem in s und t als eines in
[mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] zu haben.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo RMix,
>
> ich dachte, ich hätte das Wesentliche schon ganz kurz und
> klipp und klar gesagt.
Ja, aber wir hatten in der Vergangenheit zu diesem Thema schon mal die eine oder andere Diskussion, bei der, soweit ich mich vage entsinne, auch schon mal die Meinung vertreten wurde, dass die doppelte Verwendung des Parameternamens t in solchen Fällen falsch wäre. Insofern schien es mir wesentlich, darauf hinzuweisen, dass an der Angabe nichts zu ändern ist und diese so wie gegeben korrekt ist. Erst wenn wir konkrete Parameterwerte verwenden müssen wir uns im Klaren darüber werden, dass die Parameter zwar die x- und y-Koordinaten der Punkte der Graphen der entsprechenden Funktionen koppeln, nicht aber die beiden Funktionen f und g miteinander und daher andere Bezeichner zu wählen sind. Dies geht ja allein hier auch schon aus den unterschiedlichen Grundmengen hervor, aus denen die jeweiligen Parameter zu wählen sind.
>Es geht einfach darum, dass man
> für
> die Schnittpunktberechnung nicht einfach für die
> "aktuellen"
> Parameter, wie du sie nennst, nicht ein und dieselbe
> Variable
> benützt.
Genauer gesagt, man sucht konkrete, aktuelle Parameter, welche dann natürlich unterschiedlich zu bezeichnen sind.
> Ob man dann (wie du) gerne mit indizierten Variablen [mm]t_1[/mm]
> und
> [mm]t_2[/mm] hantiert oder die Tatsache benützt, dass es in
> unserem
> Alphabet noch andere Buchstaben als das t gibt, ist doch
> einerlei. Nach meinem Geschmack ist es in so einer
> Situation
> angenehmer, ein Gleichungssystem in s und t als eines in
> [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] zu haben.
Also mit t wäre ich nicht so glücklich, dann schon eher zB s und u.
Wenn ich eine Funktion f:y=f(x) habe und dort einen konkreten Punkt untersuche, nenne ich dessen Koordinaten auch nicht (x/y) sondern eher [mm] (x_0/y_0) [/mm] oder von mir aus auch (a/b).
Bei dieser Aufgabe hat t für mich die Bedeutung eines für jede der beiden Funktionen unabhängig voneinander beliebig aus der jeweiligen Grundmenge zu wählenden Parameterwertes, während [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] ganz konkrete "t-Werte" sind (weswegen sie auch beide den Familiennamen t tragen), für die eben gewisse Bedingungen erfüllt sein müssen (Schnittpunkt).
Grundsätzlich gebe ich dir aber insofern Recht, als dass nichtindizierte Bezeichner oft etwas bequemer in der Handhabung sind.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Berechnen Sie den Kosinus des Schnittwinkels zwischen der
> > Kurve f: [0,1] [mm]\to \IR^{2}, f(t)=(t^{2}, t^{3})[/mm] und der
> > Geraden g: [mm]\IR \to \IR^{2},[/mm] g(t)=(t,1).
> > Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß nicht wie ich
> den
> > Schnittpunkt der beiden Kurven bestimme.
> > Muss ich Komponentenweise gleichsetzen? Also [mm]t^{2}=t[/mm]
> und
> > [mm]t^{3}=1[/mm] ?
> Nein!
>
> Du hast hier die Parameterdarstellung zweier ebener Kurven
> gegeben und es ist völlig in Ordnung und auch gängig,
> dass in beiden Fällen der formale Parameter [mm]\;t[/mm] heißt.
>
> Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
>
> [mm]\exists{\ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}\mbox{ mit }f(t_1)=g(t_2)[/mm].
>
> Die aktuellen Parameter [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] müssen und werden in
> aller Regel auch nicht gleich sein, wie du irrtümlich
> angenommen hast.
>
> Du hast in deinem Fall also das nichtlineare
> Gleichungssystem
>
> [mm]\begin{cases} t_1^2=t_2\\ t_1^3=1\end{cases} \text{ mit } \ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}[/mm]
>
> zu lösen und das ist denkbar einfach.
>
> Anmerkung: Der Graph von f stellt übrigens eine sog.
> Neil'sche Parabel (semikubische Parabel) dar und g
> natürlich eine waagrechte Gerade. Damit reduziert sich die
> Aufgabe auf die Bestimmung des Anstiegswinkels
> [mm]\alpha=56,31^\circ[/mm] der Neil'schen Parabel im Schnittpunkt.
> Oder wird von dir erwartet, den genauen Wert
> [mm]cos(\alpha)=\br{2}{\wurzel{13}}=\br{2*\wurzel{13}}{13}[/mm]
> anzugeben?
Also das richtige Ergebnis hatte ich, was aber [mm] t_{1}=t_{2}=1 [/mm] evtl auch Zufall war.
Was mich etwas verwirrt, ist der Gebrauch der Indizes. [mm] t^{2} [/mm] hätte ich quasi als x interpretiert und [mm] t^{3} [/mm] als y. Aber wenn diese nun beide mit [mm] t_{1} [/mm] bezeichnet werden, kann man sie ja nicht mehr unterscheiden. Wieso ist das egal?
>
>
> Gruß RMix
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > > Berechnen Sie den Kosinus des Schnittwinkels zwischen der
> > > Kurve f: [0,1] [mm]\to \IR^{2}, f(t)=(t^{2}, t^{3})[/mm] und der
> > > Geraden g: [mm]\IR \to \IR^{2},[/mm] g(t)=(t,1).
> > > Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß nicht wie
> ich
> > den
> > > Schnittpunkt der beiden Kurven bestimme.
> > > Muss ich Komponentenweise gleichsetzen? Also [mm]t^{2}=t[/mm]
> > und
> > > [mm]t^{3}=1[/mm] ?
> > Nein!
> >
> > Du hast hier die Parameterdarstellung zweier ebener Kurven
> > gegeben und es ist völlig in Ordnung und auch gängig,
> > dass in beiden Fällen der formale Parameter [mm]\;t[/mm] heißt.
> >
> > Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
> >
> > [mm]\exists{\ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}\mbox{ mit }f(t_1)=g(t_2)[/mm].
>
> >
> > Die aktuellen Parameter [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] müssen und werden in
> > aller Regel auch nicht gleich sein, wie du irrtümlich
> > angenommen hast.
> >
> > Du hast in deinem Fall also das nichtlineare
> > Gleichungssystem
> >
> > [mm]\begin{cases} t_1^2=t_2\\ t_1^3=1\end{cases} \text{ mit } \ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}[/mm]
>
> >
> > zu lösen und das ist denkbar einfach.
> >
> > Anmerkung: Der Graph von f stellt übrigens eine sog.
> > Neil'sche Parabel (semikubische Parabel) dar und g
> > natürlich eine waagrechte Gerade. Damit reduziert sich die
> > Aufgabe auf die Bestimmung des Anstiegswinkels
> > [mm]\alpha=56,31^\circ[/mm] der Neil'schen Parabel im Schnittpunkt.
> > Oder wird von dir erwartet, den genauen Wert
> > [mm]cos(\alpha)=\br{2}{\wurzel{13}}=\br{2*\wurzel{13}}{13}[/mm]
> > anzugeben?
>
> Also das richtige Ergebnis hatte ich, was aber
> [mm]t_{1}=t_{2}=1[/mm] evtl auch Zufall war.
> Was mich etwas verwirrt, ist der Gebrauch der Indizes.
Du kannst gern an Stelle von [mm] t_1 $\;a$ [/mm] und anstelle von [mm] t_2 $\;b$ [/mm] verwenden oder dir sonst etwas Hübsches aus dem Alphabet aussuchen. Warum mir [mm] $\;t$ [/mm] nicht so gut gefallen würde hab ich in einer früheren Mitteilung versucht klar zu stellen.
> [mm]t^{2}[/mm] hätte ich quasi als x interpretiert
Ja, aber nur wenn das t der Parameter von f ist!
Wenn t der Parameter von g ist, dann ist nur [mm] t^1 [/mm] der x-Wert. Für t=1 gilt eben [mm] t^2=t^1, [/mm] aber für andere Werte von t nicht.
> und [mm]t^{3}[/mm] als y.
Ja, ebenfalls nur, wenn wir von f sprechen. Bei g ist der y-Wert ja konstant 1.
> Aber wenn diese nun beide mit [mm]t_{1}[/mm] bezeichnet werden, kann
> man sie ja nicht mehr unterscheiden. Wieso ist das egal?
Ganz verstehe ich deine Frage jetzt nicht. Ich hab die doch nicht alle mit [mm] t_1 [/mm] bezeichnet, oder?
Es gilt doch gerade für die Schnittpunktskoordinaten:
[mm] x_S=t_1^{\ 2}=t_2
[/mm]
und
[mm] y_S=t_1^{\ 3}=1
[/mm]
Der erste Wert ergibt sich jeweils aus [mm] $f(t_1)$ [/mm] und der zweite aus [mm] $g(t_2)$. [/mm] Es geht ja genau darum, die aktuellen Parameter von f und g unterschiedlich zu bezeichnen und es werden eben NICHT beide mit t oder [mm] t_1 [/mm] bezeichnet.
Hier in diesem Beispiel ist es tatsächlich (leider) so, dass zufälligerweise [mm] t_1=t_2=1 [/mm] ist und du daher mit deinem falschen Ansatz auch auf das richtige Ergebnis kommst. Eine geringfügige Änderung der Angabe kann dir aber zeigen, worum es geht. Sei jetzt $g(t):=(t;8)$. Jetzt stellt sich der Schnittpunkt für [mm] t_1=2 [/mm] und [mm] t_2=4 [/mm] ein: $f(2)=g(4)=(4;8)$.
Machts das etwas klarer für dich?
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > Berechnen Sie den Kosinus des Schnittwinkels zwischen der
> > > > Kurve f: [0,1] [mm]\to \IR^{2}, f(t)=(t^{2}, t^{3})[/mm] und der
> > > > Geraden g: [mm]\IR \to \IR^{2},[/mm] g(t)=(t,1).
> > > > Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß nicht wie
> > ich
> > > den
> > > > Schnittpunkt der beiden Kurven bestimme.
> > > > Muss ich Komponentenweise gleichsetzen? Also
> [mm]t^{2}=t[/mm]
> > > und
> > > > [mm]t^{3}=1[/mm] ?
> > > Nein!
> > >
> > > Du hast hier die Parameterdarstellung zweier ebener Kurven
> > > gegeben und es ist völlig in Ordnung und auch gängig,
> > > dass in beiden Fällen der formale Parameter [mm]\;t[/mm] heißt.
> > >
> > > Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
> > >
> > > [mm]\exists{\ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}\mbox{ mit }f(t_1)=g(t_2)[/mm].
>
> >
> > >
> > > Die aktuellen Parameter [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] müssen und werden in
> > > aller Regel auch nicht gleich sein, wie du irrtümlich
> > > angenommen hast.
> > >
> > > Du hast in deinem Fall also das nichtlineare
> > > Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]\begin{cases} t_1^2=t_2\\ t_1^3=1\end{cases} \text{ mit } \ t_1\in[0;1]_\IR} \wedge \exists{\ t_2\in\IR}[/mm]
>
> >
> > >
> > > zu lösen und das ist denkbar einfach.
> > >
> > > Anmerkung: Der Graph von f stellt übrigens eine sog.
> > > Neil'sche Parabel (semikubische Parabel) dar und g
> > > natürlich eine waagrechte Gerade. Damit reduziert sich die
> > > Aufgabe auf die Bestimmung des Anstiegswinkels
> > > [mm]\alpha=56,31^\circ[/mm] der Neil'schen Parabel im Schnittpunkt.
> > > Oder wird von dir erwartet, den genauen Wert
> > > [mm]cos(\alpha)=\br{2}{\wurzel{13}}=\br{2*\wurzel{13}}{13}[/mm]
> > > anzugeben?
> >
> > Also das richtige Ergebnis hatte ich, was aber
> > [mm]t_{1}=t_{2}=1[/mm] evtl auch Zufall war.
> > Was mich etwas verwirrt, ist der Gebrauch der Indizes.
> Du kannst gern an Stelle von [mm]t_1[/mm] [mm]\;a[/mm] und anstelle von [mm]t_2[/mm]
> [mm]\;b[/mm] verwenden oder dir sonst etwas Hübsches aus dem
> Alphabet aussuchen. Warum mir [mm]\;t[/mm] nicht so gut gefallen
> würde hab ich in einer früheren Mitteilung versucht klar
> zu stellen.
>
> > [mm]t^{2}[/mm] hätte ich quasi als x interpretiert
> Ja, aber nur wenn das t der Parameter von f ist!
> Wenn t der Parameter von g ist, dann ist nur [mm]t^1[/mm] der
> x-Wert. Für t=1 gilt eben [mm]t^2=t^1,[/mm] aber für andere Werte
> von t nicht.
>
> > und [mm]t^{3}[/mm] als y.
> Ja, ebenfalls nur, wenn wir von f sprechen. Bei g ist der
> y-Wert ja konstant 1.
> > Aber wenn diese nun beide mit [mm]t_{1}[/mm] bezeichnet werden,
> kann
> > man sie ja nicht mehr unterscheiden. Wieso ist das egal?
>
> Ganz verstehe ich deine Frage jetzt nicht. Ich hab die doch
> nicht alle mit [mm]t_1[/mm] bezeichnet, oder?
> Es gilt doch gerade für die Schnittpunktskoordinaten:
>
> [mm]x_S=t_1^{\ 2}=t_2[/mm]
>
> und
>
> [mm]y_S=t_1^{\ 3}=1[/mm]
>
> Der erste Wert ergibt sich jeweils aus [mm]f(t_1)[/mm] und der
> zweite aus [mm]g(t_2)[/mm]. Es geht ja genau darum, die aktuellen
> Parameter von f und g unterschiedlich zu bezeichnen und es
> werden eben NICHT beide mit t oder [mm]t_1[/mm] bezeichnet.
> Hier in diesem Beispiel ist es tatsächlich (leider) so,
> dass zufälligerweise [mm]t_1=t_2=1[/mm] ist und du daher mit deinem
> falschen Ansatz auch auf das richtige Ergebnis kommst. Eine
> geringfügige Änderung der Angabe kann dir aber zeigen,
> worum es geht. Sei jetzt [mm]g(t):=(t;8)[/mm]. Jetzt stellt sich der
> Schnittpunkt für [mm]t_1=2[/mm] und [mm]t_2=4[/mm] ein: [mm]f(2)=g(4)=(4;8)[/mm].
> Machts das etwas klarer für dich?
Ja, jetzt kann ich es mir vorstellen. Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung!
>
> Gruß RMix
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