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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Oesi |
| Aufgabe | Der Kreis $k [M (0/6); r=4]$ wird von der Hyperbel mit der Gleichung [mm] $b^2x^2 -4y^2=4b^2$ [/mm] berührt.
a) Bestimmen sie die Koordinaten der Berührungspunkte und die Gleichung der gemeinsamen Tangenten
b) Das von der x-Achse, der Kreislinie und den beiden Hyperbelästen begrenzte Flächenstück rotiert um die y-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers? |
Die Kreisgleichung habe ich berechnet.
Um die Berührungspunkte zu berechnen, benötige ich die Hyperbelgleichung. Es ist klar, dass [mm] $a^2=4$ [/mm] ist, wie bekomme ich [mm] $b^2$?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Fr 23.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Der Kreis [mm]k [M (0/6); r=4][/mm] wird von der Hyperbel mit der
> Gleichung [mm]b^2x^2 -4y^2=4b^2[/mm] berührt.
> a) Bestimmen sie die Koordinaten der Berührungspunkte und
> die Gleichung der gemeinsamen Tangenten
> b) Das von der x-Achse, der Kreislinie und den beiden
> Hyperbelästen begrenzte Flächenstück rotiert um die
> y-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden
> Rotationskörpers?
> Die Kreisgleichung habe ich berechnet.
> Um die Berührungspunkte zu berechnen, benötige ich die
> Hyperbelgleichung. Es ist klar, dass [mm]a^2=4[/mm] ist, wie bekomme
> ich [mm]b^2[/mm]?
Hallo,
berechne die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von Hyperbel und Kreis in Abhängigkeit von b.
Da es sich nur um Berührung (und nicht um Schneiden) handelt, sind alle b Lösung, für die es genau einen gemeinsamen Punkt gibt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Oesi |
Danke, hat geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Oesi |
Für den Teil b)
Wie berechne ich das Volumen einmal mit und einmal ohne Integralrechnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Fr 23.09.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
warum auch ohne Integralrechnung? Ich denk nicht, dass das geht. wie man Rotationsvolumen berechnet weisst du doch wohl? Differenz der 2 kurven integrieren, die Symmetrie zu 0 ausnutzen. also nur das halbe rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Sa 24.09.2011 | | Autor: | Oesi |
Die Hyperbel hat [mm] $2x^2-y^2=8$, [/mm] warum integriert man gleich das [mm] $x^2$? [/mm] Warum kommt ein [mm] $\pi$ [/mm] dazu? Für eine vollständige Umdrehung würde man doch 2 [mm] $\pi$ [/mm] brauchen, oder?
Gelöst habe ich die Aufgabe, es geht mir darum, zu verstehen, wie es zu der Lösung kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Sa 24.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für das Rotationsvolumen eines um die x-Achse rotierenden Graphen einer Funktion f(x) gilt:
[mm] V=\pi\cdot\int\left(f(x)\right)^{2}dx
[/mm]
Also macht es Sinn, die Hyperbel nach y² aufzulösen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Sa 24.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für Rotationsvolumina ist ![[]](/images/popup.gif) dieser Link vielleicht auch noch recht hilfreich.
Es gilt:
[mm] V=\pi\cdot\int\left(f^{-1}(x)\right)^{2}dx
[/mm]
Dazu muss ich also die Ellipsengleichung nach x auflösen. Da aber in der Formel [mm] x^{2} [/mm] vorkommt, recht es hier, bei [mm] x^{2}=... [/mm] aufzuhören, und diesen Term dann zu integrieren.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Sa 24.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für das Rotationsvolumen um die y- achse stellst du dir den Körper in Kreisscheiben mit Radius r=x(y) und der dicke h=dy vor, diese Kreisscheiben für alle y addiert (integriert) ergeben das Volumen. eine Kreisscheibe hat das volumen G*h mit [mm] G=\pi*r^2 [/mm] und r=x(y) [mm] 2\pi*r, [/mm] d.h. der Umfang kommt dabei nicht vor!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 So 25.09.2011 | | Autor: | Oesi |
Danke!
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