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Hallo,
ich hoffe die Frage ist in diesem Forum richtig... Ich möchte den Schnittpunkt dreier Kugeln berechnen.
Im konkreten Fall sind das die Kugeln mit Mittelpunkten (M) und Radius r:
(Anmerkung: Alle Mittelpunkte sind so verschoben, das M1 zur einfacheren Rechnung im Ursprung liegt)
M1 ( 0/ 0/ 0) r1 = 200
M2 (-45/ 0/ -25,9) r2 = 200
M3 (-45/ 0/ 25,9) r3 = 200
Mein Vorgehen ist folgendes:
Zuerst die drei Gleichungen für die Kugeln aufstellen
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
(x - [mm] x2)^2 [/mm] + (y - [mm] y2)^2 [/mm] + (z - [mm] z2)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
(x - [mm] x3)^2 [/mm] + (y - [mm] y3)^2 [/mm] + (z - [mm] z3)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
ausquadriert und umgestellt:
(1) [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
(2) [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] - 2*x*x2 - 2*y*y2 - 2*z*z2 = [mm] r^2 [/mm] - [mm] x2^2 [/mm] - [mm] y2^2 [/mm] - [mm] z2^2
[/mm]
(3) [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] - 2*x*x3 - 2*y*y3 - 2*z*z3 = [mm] r^2 [/mm] - [mm] x3^2 [/mm] - [mm] y3^2 [/mm] - [mm] z3^2
[/mm]
im Folgenden subsituiere ich [mm] -(x2^2 [/mm] + [mm] y2^2 [/mm] + [mm] z2^2) [/mm] durch -w2 und [mm] -(x3^2 [/mm] + [mm] y3^2 [/mm] + [mm] z3^2) [/mm] durch -w3
(4) = (1)-(2) x2*x + y2*y + z2*z = w2/2
(5) = (1)-(3) x3*x + y3*y + z3*z = w3/2
Eliminieren von x aus (4) und (5):
(4) mit x3 und (5) mit x2 multiplizieren
(4') x2*x3*x + x3*y2*y + x3*z2*z = x3*w2/2
(5') x2*x3*x + x2*y3*y + x2*z3*z = x2*w3/2
(4')-(5') (x3*y2 - x2*y3)*y + (x3*z2 - x2*z3)*z = (x3*w2 - x2*w3)/2
Substitution: c*y + b*z = a
(6) y = (a - b*z) / c
Jetzt Eliminieren von y aus (4) und (5):
(4)*y3 und (5)*y2
(4'') y3*x2*x + y2*y3*y + y3*z2*z = y3*w2/2
(5'') y2*x3*x + y2*y3*y + y2*z3*z = y2*w3/2
(4'')-(5'') (y3*x2 - y2*x3)*x + (y3*z2 - y2*z3)*z = (y3*w2 - y2*w3)/2
Substitution: f*x + e*z = d
(7) x = (d - e*z) / f
(6) und (7) in (1) eingesetzt ergibt:
((d - e*z) / [mm] f)^2 [/mm] + ((a - b*z) / [mm] c)^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Diesen Therm ausquadriert:
[mm] (d^2 [/mm] - z*2*d*e + [mm] z^2*e^2)/f^2 [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] - z*2*a*b + [mm] z^2*b^2)/c^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
die linke Seite auf den Hauptnenner gebracht und die z und [mm] z^2 [/mm] zusammengefasst:
( [mm] z*(-2*c^2*d*e [/mm] - [mm] 2*a*b*f^2) [/mm] + [mm] z^2*(c^2*e^2 [/mm] + [mm] b^2*f^2 [/mm] + [mm] c^2*f^2) [/mm] + [mm] a^2*f^2 [/mm] + [mm] c^2*d^2) [/mm] / [mm] c^2*f^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Multipliziert mit [mm] c^2*f^2 [/mm] und [mm] c^2*f^2*r^2 [/mm] auf beiden Seiten abgezogen kommt eine quadratische Gleichung in z raus:
[mm] z^2*(c^2*e^2 [/mm] + [mm] b^2*f^2 [/mm] + [mm] c^2*f^2) [/mm] + [mm] z*(-2*c^2*d*e [/mm] - [mm] 2*a*b*f^2) [/mm] + [mm] b^2*f^2 [/mm] + [mm] c^2*f^2 [/mm] - [mm] c^2*f^2*r^2 [/mm] = 0
oder verkürzt: [mm] z^2*a1 [/mm] + z*b1 + c1 = 0
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man zwei Lösungen für z.
Die zugehörigen x- und y-Werte erhält man durch Einsetzen in (6) und (7).
Und jetzt zu meinem Problem bei dem Ganzen 
Bei den oben angegebenen Zahlen funktioniert diese Formel nicht.
Da y2 und y3 = 0 sind, werden c, d, e und f 0, auch a, a1, b1 und c1 sind 0.
Somit kommt bei der quadratischen Lösungsformel 0/0 raus, ebenso bei den Gleichungen (6) und (7).
Das Vorgehen an sich ist im Internet an diversen Stellen so beschrieben, daran sollte es nicht liegen.
Habe ich mit den Zahlen einen Spezialfall getroffen, da alle Mittelpunkte in einer Äquatorialebene (y = 0) liegen?
Wäre schön, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. Danke schonmal vorab!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 24.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich hoffe die Frage ist in diesem Forum richtig... Ich
> möchte den Schnittpunkt dreier Kugeln berechnen.
>
> Im konkreten Fall sind das die Kugeln mit Mittelpunkten (M)
> und Radius r:
> (Anmerkung: Alle Mittelpunkte sind so verschoben, das M1
> zur einfacheren Rechnung im Ursprung liegt)
> M1 ( 0/ 0/ 0) r1 = 200
> M2 (-45/ 0/ -25,9) r2 = 200
> M3 (-45/ 0/ 25,9) r3 = 200
Hallo,
ich habe im Moment keinen Nerv, das alles durchzurechnen.
Da deine Kugeln [mm] k_2 [/mm] und [mm] k_3 [/mm] den gleichen Radius besitzen UND die Mittelpunkte symmetrisch zur x-y-Ebene liegen. ist die Schnittfigur beider Kugeln ein Kreis, der in der Symmetrieebene (z=0) liegt.
Somit liegt auch der Schnittpunkt der Kugel um (0,0,0) mit diesem Schnittkreis in der x-y-Ebene
Im Prinzip geht es also nur um die beiden Schnittpunkte zweier Kreise in der x-y-Ebene.
Gruß Abakus
>
> Mein Vorgehen ist folgendes:
> Zuerst die drei Gleichungen für die Kugeln aufstellen
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> (x - [mm]x2)^2[/mm] + (y - [mm]y2)^2[/mm] + (z - [mm]z2)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> (x - [mm]x3)^2[/mm] + (y - [mm]y3)^2[/mm] + (z - [mm]z3)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> ausquadriert und umgestellt:
>
> (1) [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> (2) [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] - 2*x*x2 - 2*y*y2 - 2*z*z2 = [mm]r^2[/mm] -
> [mm]x2^2[/mm] - [mm]y2^2[/mm] - [mm]z2^2[/mm]
> (3) [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] - 2*x*x3 - 2*y*y3 - 2*z*z3 = [mm]r^2[/mm] -
> [mm]x3^2[/mm] - [mm]y3^2[/mm] - [mm]z3^2[/mm]
>
> im Folgenden subsituiere ich [mm]-(x2^2[/mm] + [mm]y2^2[/mm] + [mm]z2^2)[/mm] durch
> -w2 und [mm]-(x3^2[/mm] + [mm]y3^2[/mm] + [mm]z3^2)[/mm] durch -w3
>
> (4) = (1)-(2) x2*x + y2*y + z2*z = w2/2
> (5) = (1)-(3) x3*x + y3*y + z3*z = w3/2
>
> Eliminieren von x aus (4) und (5):
> (4) mit x3 und (5) mit x2 multiplizieren
>
> (4') x2*x3*x + x3*y2*y + x3*z2*z = x3*w2/2
> (5') x2*x3*x + x2*y3*y + x2*z3*z = x2*w3/2
>
> (4')-(5') (x3*y2 - x2*y3)*y + (x3*z2 - x2*z3)*z = (x3*w2 -
> x2*w3)/2
> Substitution: c*y + b*z = a
>
> (6) y = (a - b*z) / c
>
> Jetzt Eliminieren von y aus (4) und (5):
> (4)*y3 und (5)*y2
>
> (4'') y3*x2*x + y2*y3*y + y3*z2*z = y3*w2/2
> (5'') y2*x3*x + y2*y3*y + y2*z3*z = y2*w3/2
>
> (4'')-(5'') (y3*x2 - y2*x3)*x + (y3*z2 - y2*z3)*z = (y3*w2
> - y2*w3)/2
> Substitution: f*x + e*z = d
>
> (7) x = (d - e*z) / f
>
> (6) und (7) in (1) eingesetzt ergibt:
> ((d - e*z) / [mm]f)^2[/mm] + ((a - b*z) / [mm]c)^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Diesen Therm ausquadriert:
>
> [mm](d^2[/mm] - z*2*d*e + [mm]z^2*e^2)/f^2[/mm] + [mm](a^2[/mm] - z*2*a*b +
> [mm]z^2*b^2)/c^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> die linke Seite auf den Hauptnenner gebracht und die z und
> [mm]z^2[/mm] zusammengefasst:
>
> ( [mm]z*(-2*c^2*d*e[/mm] - [mm]2*a*b*f^2)[/mm] + [mm]z^2*(c^2*e^2[/mm] + [mm]b^2*f^2[/mm] +
> [mm]c^2*f^2)[/mm] + [mm]a^2*f^2[/mm] + [mm]c^2*d^2)[/mm] / [mm]c^2*f^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Multipliziert mit [mm]c^2*f^2[/mm] und [mm]c^2*f^2*r^2[/mm] auf beiden Seiten
> abgezogen kommt eine quadratische Gleichung in z raus:
>
> [mm]z^2*(c^2*e^2[/mm] + [mm]b^2*f^2[/mm] + [mm]c^2*f^2)[/mm] + [mm]z*(-2*c^2*d*e[/mm] -
> [mm]2*a*b*f^2)[/mm] + [mm]b^2*f^2[/mm] + [mm]c^2*f^2[/mm] - [mm]c^2*f^2*r^2[/mm] = 0
>
> oder verkürzt: [mm]z^2*a1[/mm] + z*b1 + c1 = 0
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> Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen
> erhält man zwei Lösungen für z.
> Die zugehörigen x- und y-Werte erhält man durch
> Einsetzen in (6) und (7).
>
> Und jetzt zu meinem Problem bei dem Ganzen
> Bei den oben angegebenen Zahlen funktioniert diese Formel
> nicht.
> Da y2 und y3 = 0 sind, werden c, d, e und f 0, auch a, a1,
> b1 und c1 sind 0.
> Somit kommt bei der quadratischen Lösungsformel 0/0 raus,
> ebenso bei den Gleichungen (6) und (7).
>
> Das Vorgehen an sich ist im Internet an diversen Stellen so
> beschrieben, daran sollte es nicht liegen.
> Habe ich mit den Zahlen einen Spezialfall getroffen, da
> alle Mittelpunkte in einer Äquatorialebene (y = 0)
> liegen?
>
> Wäre schön, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
> Danke schonmal vorab!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Das Ganze ist Teil eines Programmes und die Berechnung der Schnittpunkte ist eine Funktion in diesem Programm. Es sollen damit natürlich nicht nur die Schnittpunkte der angegebenen Kugeln ausgerechnet werden, sie waren lediglich ein Beispiel wo es nicht funktioniert. Entschuldigung, da habe ich mich wohl nicht richtig ausgedrückt.
Dass der Schnittpunkt der oberen Kugeln in der xy-Ebene liegt ist richtig
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Hallo MrCompton,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Erstmal danke für die schnelle Antwort!
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> Das Ganze ist Teil eines Programmes und die Berechnung der
> Schnittpunkte ist eine Funktion in diesem Programm. Es
> sollen damit natürlich nicht nur die Schnittpunkte der
> angegebenen Kugeln ausgerechnet werden, sie waren lediglich
> ein Beispiel wo es nicht funktioniert. Entschuldigung, da
> habe ich mich wohl nicht richtig ausgedrückt.
>
> Dass der Schnittpunkt der oberen Kugeln in der xy-Ebene
> liegt ist richtig
Das Gleichungssystem
(4) = (1)-(2) x2*x + y2*y + z2*z = w2/2
(5) = (1)-(3) x3*x + y3*y + z3*z = w3/2
kannst Du nach denjenigen Variablen auflösen,
für die eine der Determinanten
[mm]\vmat{x2 & y2 \\ x3 & y3}, \ \vmat{x2 & z2 \\ x3 & z3}, \ \vmat{y2 & z2 \\ y3 & z3}[/mm]
nicht verschwindet.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 25.08.2010 | | Autor: | MrCompton |
Das klingt logisch, ich werde das ausprobieren und mich melden, ob es geklappt hat. Wird nur leider etwas dauern, bis ich die Zeit dazu finde.
Danke nochmal und euch beiden ein dickes Lob für die schnelle und kompetente Hilfe.
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