Schnittpunkt f(x) und f'(x) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f_{t} [/mm] mit [mm] f_{t}(x)= txe^{-tx+1} [/mm] mit t [mm] \not= [/mm] 0.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Graphen [mm] f_{t}(x) [/mm] und [mm] f_{t}'(x).
[/mm]
Für welche t existiert kein Schnittpunkt?
Alle Schnittpunkte liegen auf einer Kurve. Geben sie die Gleichung dieser Kurve an. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der Aufgabe. Der erste Schritt wäre doch die Ableitung der Funktion bestimmen und dann diese gleichsetzen?!
für die Ableitung habe ich folgendes heraus:
[mm] f_{t}(x)= txe^{-tx+1}
[/mm]
[mm] f_{t}'(x)= te^{-tx+1} [/mm] - [mm] t^{2}xe^{-tx+1}
[/mm]
[mm] f_{t}'(x)= txe^{-tx+1}(1-tx)
[/mm]
ich habe den leisen Verdacht, dass ich mich hier schon vertan habe.... :/
kann mir jemand sagen ob die Ableitung stimmt, und wenn nicht mir dann ein wenig unter die Arme greifen?
Dankesehr
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 16.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Dein erster Schritt der Ableitung ist okay. Jedoch klammerst Du zuviel aus. Das $x_$ hat vor der Klammer nichts verloren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
Danke,
auf meinem Blatt Papier steht das x auch nicht, muss ausversehen dahin gerutscht sein.
gut, damit lautet die Ableitung: [mm] f_{t}'(x)= te^{-tx+1}(1-tx)
[/mm]
und diese setze ich jetzt mit [mm] f_{t}(x) [/mm] einfach gleich und löse nach x auf?
habe es einfach schomal gemacht:
[mm] f_{t}(x [/mm] )= [mm] f_{t}'(x)
[/mm]
[mm] txe^{-tx+1} [/mm] = [mm] te^{-tx+1}(1-tx)
[/mm]
an dieser Stelle würde ich durch [mm] te^{-tx+1} [/mm] teilen
x=1-tx
x+tx=1
[mm] 2x=\bruch{1}{t}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{2t}
[/mm]
falls das jetzt stimmt, habe ich den x-wert von dem Schnittpunkt ermittelt. Den y-Wert bestimmt man doch so, dass man den x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzt?!
also:
x in [mm] f_{t}
[/mm]
[mm] f_{\bruch{t}{2t}}=\bruch{t}{2t}e^-{\bruch{t}{2t}+1}
[/mm]
[mm] f_{\bruch{t}{2t}}= \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Schnittpunkt also bei:
[mm] P(\bruch{1}{2t}|\bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
stimmt das? oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
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> Danke,
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> auf meinem Blatt Papier steht das x auch nicht, muss
> ausversehen dahin gerutscht sein.
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> gut, damit lautet die Ableitung: [mm]f_{t}'(x)= te^{-tx+1}(1-tx)[/mm]
>
> und diese setze ich jetzt mit [mm]f_{t}(x)[/mm] einfach gleich und
> löse nach x auf?
>
> habe es einfach schomal gemacht:
>
> [mm]f_{t}(x[/mm] )= [mm]f_{t}'(x)[/mm]
> [mm]txe^{-tx+1}[/mm] = [mm]te^{-tx+1}(1-tx)[/mm]
>
> an dieser Stelle würde ich durch [mm]te^{-tx+1}[/mm] teilen
>
> x=1-tx
> x+tx=1
> [mm]2x=\bruch{1}{t}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") wie hast du das denn geschafft? Wie wäre es mit:
x*(1+t)=1
[mm] x=\bruch{1}{1+t} [/mm] als Gegenvorschlag?
> [mm]x=\bruch{1}{2t}[/mm]
>
> falls das jetzt stimmt, habe ich den x-wert von dem
> Schnittpunkt ermittelt. Den y-Wert bestimmt man doch so,
> dass man den x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzt?!
>
> also:
>
> x in [mm]f_{t}[/mm]
> [mm]f_{\bruch{t}{2t}}=\bruch{t}{2t}e^-{\bruch{t}{2t}+1}[/mm]
> [mm]f_{\bruch{t}{2t}}= \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Schnittpunkt also bei:
>
> [mm]P(\bruch{1}{2t}|\bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}})[/mm]
>
> stimmt das? oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
keine Ahnung wie ich das hinbekommen habe....
auf alle fälle bekomme ich dann mit
[mm] x=\bruch{1}{1+t}
[/mm]
einen y-Wert raus der so aussieht:
g(x)= [mm] \bruch{t}{1+t}e^{-\bruch{t}{1+t}+1}
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht mehr, was ich damit noch anstellen soll ...
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> keine Ahnung wie ich das hinbekommen habe....
>
> auf alle fälle bekomme ich dann mit
>
> [mm]x=\bruch{1}{1+t}[/mm]
>
> einen y-Wert raus der so aussieht:
>
> g(x)= [mm]\bruch{t}{1+t}e^{-\bruch{t}{1+t}+1}[/mm]
>
> und jetzt weiß ich nicht mehr, was ich damit noch
> anstellen soll ...
nix ;) Ich meine, wenn es nicht wieter zu vereinfachen geht, und ich sehe auch keine sinnvolle Möglichkeit, dann lass es ;) DU sollst den Schnittpunkt bestimmen, oder? Und das ist dir geglückt, ich halte von y-Koordinaten eh nicht so viel ;)
Meine graphische Probe für t=1 war auch korrekt, sprich der Schnittpuntkl liegt bei 0,5, was ja mit x=1/2 auch folgt.
Also mach dir nicht zu viele Gedanken um eine schöne Form, es sei du willst den schönen Bruch in sowas wie [mm] t*(1+t)^{-1} [/mm] umwandeln, was ich nicht glaube
Nachtrag: Du hast aber noch mehr Aufgaben, sehe ich gerade! ^^
Da wäre noch die Frage, wann kein SP existiert, was ja recht einfach ist und für dich kein Problem darstellen dürfte, und die sogenannte Ortskurve, die die Lage aller Schnittpunkte beschreibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
Ja genau, die anderen Aufgaben.
Keine Schnittpunkte existieren, wenn t=-1 ist.
aber wie bestimme ich jetzt eine Ortskurve aller Schnittpunkte....
ich denke mal, man nimmt den Ausruck [mm] x=\bruch{1}{1+t}, [/mm] stellt ihn nach t um und setzt das t dann wieder in [mm] f_t{x} [/mm] ein.
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> Ja genau, die anderen Aufgaben.
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> Keine Schnittpunkte existieren, wenn t=-1 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") so ist es, und da von der Aufgabenstellung t [mm] \not= [/mm] 0 vorgegeben ist, haben wir als weitere Bedingung t [mm] \not= [/mm] -1
>
> aber wie bestimme ich jetzt eine Ortskurve aller
> Schnittpunkte....
>
> ich denke mal, man nimmt den Ausruck [mm]x=\bruch{1}{1+t},[/mm]
> stellt ihn nach t um und setzt das t dann wieder in [mm]f_t{x}[/mm]
> ein.
fast, musste es auch erst rechnen, aber ist ganz einfach:
Du hast einen SP mit einer x- und einer y-Koordinate. Du stellst richtigerweise x nach t um, so dass du t in der y-koordinate ersetzen kannst, womit du eine neue Funktion erhälst, in der kein Parameter t mehr auftaucht. Ach meine Güte ist das schön...habe eben mit Mathematik 19 das simuliert und es ist einfach pure Schönheit, wenn man die beiden Graphen f und f' auf der Ortskurve entlangwandern sieht. Ich wünschte, ich könnte dir das als Video reinstellen...vielleicht mit Fraps? na ich schau mal hihi, derweil du rechnest...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 16.01.2011 | | Autor: | Adamantin |
Ich liebe diese Welt und vor allem technische Software ;)
Und dass das Video gerade mal <1 MB (gut, jetzt 2 MB, da ich es etwas aufgemotzt habe und es jetzt länger ist, sorry für den Hintergrund ;) ) ist, überrascht mich auch sehr!
Viel Spaß beim kurzen Vergnügen ;)
Und ehe du oben die schlechten Funktionen entzifferst:
blau: f(x)
rot: f'(x)
braun: Ortskurve
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
(am besten Rechtsklick und Ziel speichern unter...weiß nicht, welches Format automatisch im Browser abgespielt werden kann, swf Flash bestimmt, aber das sieht zermatscht aus, so ist es besser ;) )
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: mp4) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
Haha, ja es geht :) wunderbar :P
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:26 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
was du mir auch immer mit dem mathematik 19 usw. sage willst :D ich weiß es nicht :P
aufjedenfall habe ich das t in [mm] f_t{x} [/mm] eingesetzt und folgende Ortskurve erhalten:
[mm] O(x)=-xe^{-x+1}
[/mm]
stimmt das? und wie kann ich das alles eigentlich prüfen, ob es alles stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 16.01.2011 | | Autor: | Adamantin |
> was du mir auch immer mit dem mathematik 19 usw. sage
> willst :D ich weiß es nicht :P
Ist ein Programmpaket für die Lösung mathematischer Probleme, wie Mathematika oder sonst irgendeine Software. Wollte dir damit nur sagen, dass ich alle drei Kurven geplottet habe und die Lösung soweit stimmt. Schau mal über diesem Beitrag in meiner Mitteilung und schau dir das Video an (sofern es geht). Würde mich freuen ;)
>
> aufjedenfall habe ich das t in [mm]f_t{x}[/mm] eingesetzt und
> folgende Ortskurve erhalten:
>
> [mm]O(x)=-xe^{-x+1}[/mm]
wenn [mm] t=\bruch{1}{x}-1 [/mm] ist und du es in y einsetzt, also in den Term [mm] \bruch{t}{1+t}*e^{\bruch{-t}{1+t}+1}, [/mm] dann erhälst du nicht -x am Anfang, sondern eher (1-x), oder? die richtige Kurve lautet:
[mm] y(x)=(1-x)*e^x
[/mm]
>
> stimmt das? und wie kann ich das alles eigentlich prüfen,
> ob es alles stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 So 16.01.2011 | | Autor: | Yujean |
ok... ich weiß nicht wie ich darauf gekommen bin das [mm] t=\bruch{1}{x}-1 [/mm] in die Ausgangsfunktion einzusetzen und nicht in die y-Koordinate...
aufjedenfall werde ich das jetzt noch in Angriff nehmen und bedanke mich für deine Hilfe :)
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