Schnittpunkt zweier Geraden < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 29.04.2015 | | Autor: | BennyW |
| Aufgabe | | Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden mit Angabe der Unsicherheit. |
Hallo,
ich habe durch Messungen zwei Messreihen erhalten, welche sich jeweils gut durch eine Gerade fitten lassen. Da jeder Messpunkt mehrmals wiederholt wurde, wurde der jeweilge Fit mit dem Messfehler gewichtet. Das Ergebnis sind zwei Geraden:
y(x) = a*x + b
y(x) = c*x + d
Mathematica gibt mit jeweils für die verschieden Parameter die Unsicherheit an.
Der Schnittpunkt für x berechnet sich nach
x = [mm] \bruch{d-b}{a-c}
[/mm]
Will ich nun die Unsicherheit für x berechnen, würde ich folgende Formel benutzen:
[mm] u^{2}(x)=c_{a}*u^{2}(a)+c_{b}*u^{2}(b)+c_{c}*u^{2}(a)+c_{d}*u^{2}(d)+2*c_{a}*c_{c}*u(a,c)+2*c_{d}*c_{b}*u(d,b)
[/mm]
[mm] c_{i} [/mm] soll hier jeweils die partielle Ableitung sein. Ausgegangen bin ich von der Formel der Fehlerfortpflanzung. Nun die erste Frage: Stimmt die Formel? Und wenn ja, wie errechne ich die Kovarianz u(a,c) bzw. u(d,b)?
Im Allgemeinen weiß ich, wie die Kovarianz errechnet wird, jedoch nicht bei zwei Parametern.
Vielen Dank - Benny
PS.: Wenn jemand ein gutes Lehrbuch für Naturwissenschaftler über das Thema empfehlen kann (soll heißen: viele Anwendungen, wenig Beweise), würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Do 30.04.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst den Fehler von x, was soll dein u sein? das jeweilige [mm] \Delta [/mm] a usw?
du hast doch erstmal den absoluten Fehler von d-b und a-c jeweils die Summe der absoluten Fehler der Summannden. dann den Fehler des Quotienten = Summe der prozentualen Fehler der 2 Ausdrücke.
den hinteren Teil deiner formel verstehe ich nicht.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Di 05.05.2015 | | Autor: | BennyW |
Danke für die Hilfe. Ich hatte leider einen Fehler gemacht und zu wenig erklärt. Habe dazu bei der zweiten Antwort noch eine Frage gestellt. Hoffe, dass es nun etwas klarer ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 30.04.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für die Fehlerfortpflanzung schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript an.
Du brauchst die Grundformel
[mm] $\Delta y=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial y}{\partial x_{i}}\cdot\Delta x_{i}\right)^{2}}$
[/mm]
In deinem Fall also für die x-Koordinate des Schnittpunktes, die du mit [mm] x_{s}=\frac{d-b}{a-c} [/mm] berechnest, also:
[mm] $\Delta x_{s}=\sqrt{\left(\frac{\partial x_{s}}{\partial a}\cdot\Delta a\right)^{2}+\left(\frac{\partial x_{s}}{\partial b}\cdot\Delta b\right)^{2}+\left(\frac{\partial x_{s}}{\partial c}\cdot\Delta c\right)^{2}+\left(\frac{\partial x_{s}}{\partial d}\cdot\Delta d\right)^{2}}$
[/mm]
Marius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:45 Di 05.05.2015 | | Autor: | BennyW |
Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe leider ein paar Fehler gemacht und zu wenig erklärt.
[mm] c_{i}= \bruch{\partial x}{\partial i}
[/mm]
Mit u(x) meinte ich die Unsicherheit von x.
Nun lautet die richtige Formel:
$ [mm] u^{2}(x)=c^2_{a}\cdot{}u^{2}(a)+c^2_{b}\cdot{}u^{2}(b)+c^2_{c}\cdot{}u^{2}(a)+c^2_{d}\cdot{}u^{2}(d)+2\cdot{}c_{a}\cdot{}c_{c}\cdot{}u(a,c)+2\cdot{}c_{d}\cdot{}c_{b}\cdot{}u(d,b) [/mm] $
So mit der Erklärung/Richtigstellung meiner Formel, sieht man ja, dass die ersten vier Summanden bei uns gleich sind. Nun gilt die vor dir vorgestellte Grundformel nur für den Fall, dass alle Variablen unabhängig sind.
Da ja bei dem Fit einer Geraden durch verschiedene Messpunkte die beiden Parameter nicht unabhängig sind, muss ich die Korrelation der jeweiligen Parameter beachten (a und c bzw. b und d). Daher noch die zusätzlichen Teile in meiner Formel:
$ [mm] 2\cdot{}c_{a}\cdot{}c_{c}\cdot{}u(a,c)+2\cdot{}c_{d}\cdot{}c_{b}\cdot{}u(d,b) [/mm] $
Ich bin mir aber nicht sicher, wie ich diesen Teil ausrechne.
PS.:Vlt. ist es hilfreich zu zeigen auf welche Texte ich mich beziehe. Da wäre zum einen "Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement".
Sowie die PDF-Datei, wo auf der Seite 17 die Formel (Folie 62) zu finden ist. Auch dort wird von einer Kovarianz gesprochen, jedoch verstehe ich nicht alles, da es nur eine Zusammenfassung einer Vorlesung ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Di 12.05.2015 | | Autor: | BennyW |
Habe viel gelesen und bin mit dem Verständnis weitergekommen aber noch nicht am Ende. Da die Frage aber mit mit Statistik zu tun hat, also mit Funktionen, werde ich im dortigen Forum die Frage nochmal ähnlich stellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 13.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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