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Gegeben sich die zwei Geradenscharen
ga:x = (1/2/0) + r*(2/3/a) und hb:x = (5/2/3) + s* (b/1/-1)
Welche Gleichung muss für a und b gelten, damit sie die Geraden ga und hb schneiden? Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts.
Damit die Geraden sich schneiden müssen die Richtungsvektoren ja linear unabhängig sein. Ich habe ausgerechnet, dass sie für a=-3 und b= 2/3 linear abhängig sind, also muss a ungleich -3 sein und b ungleich 2/3. oder?
außerdem muss vektor p-q linear abhängig zu den Richtungsvektoren sein?!
meine frage ich, wie ich ausrechnen kann das p-q linear abhängig zum Richtungsvektor ist...
und ob ich für a und b jetzt irgendwelche werte anstatt -3 und 2/3 einsetzen kann???
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> Gegeben sich die zwei Geradenscharen
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> ga:x = (1/2/0) + r*(2/3/a) und hb:x = (5/2/3) + s*
> (b/1/-1)
>
> Welche Gleichung muss für a und b gelten, damit sie die
> Geraden ga und hb schneiden? Berechne die Koordinaten des
> Schnittpunkts.
Hallo,
Du sollst also berechnen, für welche a,b sich [mm] g_a [/mm] und [mm] g_b [/mm] in genau einem Punkt schneiden.
lieber die beiden Geraden gleichsetzen und schauen, für welche a,b es genau eine Lösung gibt.
Damit machst Du nämlich alles in einem Abwasch.
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> Damit die Geraden sich schneiden müssen die
> Richtungsvektoren ja linear unabhängig sein. Ich habe
> ausgerechnet, dass sie für a=-3 und b= 2/3 linear abhängig
> sind, also muss a ungleich -3 sein und b ungleich 2/3.
> oder?
Ja.
> außerdem muss vektor p-q linear abhängig zu den
> Richtungsvektoren sein?!
>
> meine frage ich, wie ich ausrechnen kann das p-q linear
> abhängig zum Richtungsvektor ist...
Du mußt schauen, für welche a,b die Gleichung
[mm] \lambda(p-q) [/mm] + [mm] \mu [/mm] (2/3/a) + [mm] \nu [/mm] (b/1/-1) = (0 / 0 / 0) nur die Lösung [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] hat, und dabei berücksichtigen, daß die Fälle a=-3 und b=-2/3 aufgrund der orhergehenden Rechnung nicht vorkommen können.
> und ob ich für a und b jetzt irgendwelche werte anstatt -3
> und 2/3 einsetzen kann???
Nein, das wäre zu wenig allgemein.
Gruß v. Angela
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Welche Werte muss ich denn dann für a und b nehmen um die Schnittpunkte auszurechnen?
und was bedeutet [mm] \lambda [/mm] dieses Zeichen?
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> Welche Werte muss ich denn dann für a und b nehmen um die
> Schnittpunkte auszurechnen?
hallo,
gar keine konkreten.
Du rechnest, als stünden da Zahlen und guckst am Ende, für welche a,b es eine Lösung gibt
>
> und was bedeutet [mm]\lambda[/mm] dieses Zeichen?
Das soll einfach eine Variable sein. Wenn Dir die griechischen Buchstaben unheimlich sind, dann nimm halt x,y,z.
Gruß v. Angela
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Ich habe da jetzt für a=-3 und b=2 raus. Aber das kann ja bei a nicht stimmen... oder?
Muss ich r und s auch noch ausrechnen?
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> Ich habe da jetzt für a=-3 und b=2 raus. Aber das kann ja
> bei a nicht stimmen... oder?
Hallo,
wenn ich Deine Werte für a und b einsetze, bekomme ich, daß die Geraden keinen Schnittpunkt haben.
Am besten, Du rechnst mal vor, was Du so tust.
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> Muss ich r und s auch noch ausrechnen?
Die brauchst Du, wenn Du den Schnittpunkt angeben willst.
Gruß v. Angela
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Ich hab jetzt
t*p - t*q + 2r + sb = 0
t*p- t*q + 3r + s = 0
t*p - t*q + ra- s = 0
durch diese drei gleichungen habe ich dann a und b ausgerechnet und bei dabei auf a = -3 und b = 2 gekommen
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> Ich hab jetzt
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> t*p - t*q + 2r + sb = 0
> t*p- t*q + 3r + s = 0
> t*p - t*q + ra- s = 0
>
> durch diese drei gleichungen habe ich dann a und b
> ausgerechnet und bei dabei auf a = -3 und b = 2 gekommen
Hallo,
was hast Du denn für p und q verwendet? p und q sind ja die beiden Stütz(/Orts-)vektoren.
Rechne das doch mal richtig ausführlich vor.
Ist das für die Schule oder die Uni?
Gruß v. Angela
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das ist für die Schule... unsere Mathelehrerin war eine woche weg und hat uns deshalb ein Thema gegeben, das wir uns selber beibringen sollen.
also wie gesagt ich habe diese drei gleichungen nach a und b umgestellt
t*p - t*q + 2r + sb = 0 (*-1)
t*p- t*q + 3r + s = 0
t*p - t*q + ra- s = 0
-2r- sb = 0 (*3)
3r +s = 0 (*-2)
2s- sb = 0
s (2-b) = 0
2 = b
und....
-3r -s = 0 (*-1)
ra- s = 0
3r- ra = 0
r (3+ a) = 0
a = -3
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> das ist für die Schule... unsere Mathelehrerin war eine
> woche weg und hat uns deshalb ein Thema gegeben, das wir
> uns selber beibringen sollen.
Hallo,
eine ausgezeichnete Idee...
Paß mal auf, ich zeige Dir jetzt, wie das geht, bzw. ich versuche es.
Ich find's überhaupt nicht einfach.
Wir suchen also einen gemeinsamen Punkt der Geraden
>>>> [mm] g_a:x [/mm] = (1/2/0) + r*(2/3/a) und [mm] h_b:x [/mm] = (5/2/3) + s* (b/1/-1).
Schnittpunkte sucht und findet man, indem man die Gleichungen gleichsetzt und nach r und s auflöst.
Ich werde im folgenden versuchen herauszufinden, für welche Werte von a und b das überhaupt möglich ist.
Ich erhalte das Gleichungssystem
I. 1+2r=5+bs
II. 2+3r=2+s
III. ar=3-s,
aus welchem ich nun r und s berechne.
a und b sind Parameter, ich behandle sie, als stünden da irgendwelche festen Zahlen.
Aus III. erhalte ich s=3-ar.
Dies setze ich in I. und II. ein und bekomme
I'. 1+2r=5+b(3-ar)
II'. 2+3r=2+(3-ar)
<==>
I'. 1+2r=5+3b-abr
II'. 2+3r=5-ar
<==>
I'. (2+ab)r=4+3b
II'. (3+a)r=3
Hier sieht man schon etwas: für a=-3 hat das Gleichungssystem keine Lösung, denn die Gleichung II' wäre sonst ja 0=3.
Für [mm] \green{a\not=3} [/mm] erhält man aus II' : [mm] r=\bruch{3}{3+a}.
[/mm]
Wenn ich dies in I' einsetze, darf man keinen Widerspruch erhalten. Es muß also gelten
[mm] (2+ab)*\bruch{3}{3+a}=4+3b
[/mm]
<==> 3(2+ab)=(4+3b)(3+a)
<==> 6+3ab= 12 +4a+9b +3ab
<==> 6= 12 +4a+9b
<==> -6= 4a+9b
<==> [mm] \bruch{-6-4a}{9}=b
[/mm]
So. Was sagt uns das?
Falls a und b so beschaffen sind, daß [mm] b=\bruch{-6-4a}{9} [/mm] ist und [mm] \green{a\not=3}, [/mm] haben die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt.
Beispiele für solche Kombinationen wären
a=0 und [mm] b=\bruch{-6-4*0}{9}=-\bruch{2}{3} [/mm]
a=1 und [mm] b=\bruch{-6-4*1}{9}=-\bruch{10}{9}
[/mm]
a=-5 und [mm] b=\bruch{-6-4*(-5)}{9}=\bruch{14}{9}.
[/mm]
Nun hoffe ich nur, daß ich mich nirgends verrechnet habe.
Rechne alles haarklein nach. Nichts glauben!
Gruß v. Angela
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Danke für die Hilfe. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden ;)
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Hi, Sternchen,
> Gegeben sich die zwei Geradenscharen
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> ga:x = (1/2/0) + r*(2/3/a) und hb:x = (5/2/3) + s*(b/1/-1)
>
> Welche Gleichung muss für a und b gelten, damit sie die
> Geraden ga und hb schneiden? Berechne die Koordinaten des
> Schnittpunkts.
>
> Damit die Geraden sich schneiden müssen die
> Richtungsvektoren ja linear unabhängig sein. Ich habe
> ausgerechnet, dass sie für a=-3 und b= 2/3 linear abhängig
> sind, also muss a ungleich -3 sein und b ungleich 2/3.
> oder?
Soweit schon mal in Ordnung! Für a=-3 und b=2/3 sind die Geraden parallel.
> außerdem muss vektor p-q linear abhängig zu den
> Richtungsvektoren sein?!
Meinst Du damit den Verbindungsvektor der Aufpunkte? Dann hast Du recht!
> meine frage ich, wie ich ausrechnen kann das p-q linear
> abhängig zum Richtungsvektor ist...
Ich empfehle die Determinantenmethode:
[mm] \vmat{ 4 & 2 & b \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & a & -1}= [/mm] 0
(Zur Kontrolle: Ich krieg' raus: 4a+9b+6=0)
> und ob ich für a und b jetzt irgendwelche werte anstatt -3
> und 2/3 einsetzen kann???
Nein, nein, der ebenfalls zu bestimmende Schnittpunkt hängt sicher von a (oder b - wie Du willst!) ab.
mfG!
Zwerglein
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