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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 So 17.01.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe |
Gegeben:
[mm] f(x)= 2x*e^{x}+3 [/mm]
a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen den Graphen von [mm] f [/mm] und der x-Achse über [0:1]
b) Die Fläche A wird durch die Gerade [mm] g(x)=5x[/mm] zweigeteilt. Zeigen Sie, dass die beiden Teilflächen gleich groß sind
c) Zeigen sie, dass sich f(x) und g(x) nicht schneiden
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
a) und b) sind soweit klaro:
A Gesamt = 5 FE und A Teilfläche= 2,5
=> 5-2,5=2,5
=> 2,5 FE = 2,5 FE
nur bei c) scheine ich irgendwie auf dem Schlauch zu stehen:
[mm] f(x)=g(x) [/mm]
[mm] 2*x*e^{x}+3=5x [/mm]
[mm] 2*x*e^{x}-5x=-3 [/mm]
[mm] x(2*e^{x}-5)+3=0 [/mm] ab hier komme ich nicht mehr weiter.
Kann es sein das ich falsch bzw. ungünstig Umgestellt habe?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> Gegeben:
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> [mm]f(x)= 2x*e^{x}+3[/mm]
>
> a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen den
> Graphen von [mm]f[/mm] und der x-Achse über [0:1]
>
> b) Die Fläche A wird durch die Gerade [mm]g(x)=5x[/mm] zweigeteilt.
> Zeigen Sie, dass die beiden Teilflächen gleich groß sind
>
> c) Zeigen sie, dass sich f(x) und g(x) nicht schneiden
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> a) und b) sind soweit klaro:
>
> A Gesamt = 5 FE und A Teilfläche= 2,5
>
> => 5-2,5=2,5
>
> => 2,5 FE = 2,5 FE
>
> nur bei c) scheine ich irgendwie auf dem Schlauch zu
> stehen:
>
> [mm]f(x)=g(x)[/mm]
>
> [mm]2*x*e^{x}+3=5x[/mm]
>
> [mm]2*x*e^{x}-5x=-3[/mm]
>
> [mm]x(2*e^{x}-5)+3=0[/mm] ab hier komme ich nicht mehr weiter.
>
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> Kann es sein das ich falsch bzw. ungünstig Umgestellt
> habe?
Deine Gleichung ist richtig, nur gibt es keine einfache Methode der Lösung.
Aber: du willst ja eigentlich nicht die Lösung finden, sondern zeigen, dass es keine Lösung gibt. Wenn du die Gleichung etwas umstellst:
[mm] x(2*e^{x}-5) = -3 [/mm],
dann siehst du, dass es wegen [mm] $0\le x\le [/mm] 1$ nur dann eine Lösung geben kann, wenn [mm] $2*e^{x}-5 \le [/mm] -3$ ist. Nun überlege dir, welche Werte [mm] $2*e^{x}-5$ [/mm] im Intervall $[0,1]$ überhaupt annimmt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 17.01.2010 | | Autor: | Mampf |
> Aber: du willst ja eigentlich nicht die Lösung finden,
> sondern zeigen, dass es keine Lösung gibt. Wenn du die
> Gleichung etwas umstellst:
>
> [mm]x(2*e^{x}-5) = -3 [/mm],
>
> dann siehst du, dass es wegen [mm]0\le x\le 1[/mm]
Was in der Aufgabenstellung schränkt den Bereich von [mm] x[/mm] ein?
> nur dann eine
> Lösung geben kann, wenn [mm]2*e^{x}-5 \le -3[/mm] ist.
Und was ist mit dem [mm] x[/mm] vor der Klammer passiert?
> Nun überlege dir, welche Werte [mm]2*e^{x}-5[/mm] im Intervall [mm][0,1][/mm]
> überhaupt annimmt.
Bei 0 ergibts -3 (was nach [mm]2*e^{x}-5 \le -3[/mm] also die Bedingung erfüllen würde, was es, wenn ich das x beibehalten würde nicht täte.
Bei 1 ergibts 0,43 ein positiver Wert, der sowieso rausfällt... und nun?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Aber: du willst ja eigentlich nicht die Lösung finden,
> > sondern zeigen, dass es keine Lösung gibt. Wenn du die
> > Gleichung etwas umstellst:
> >
> > [mm]x(2*e^{x}-5) = -3 [/mm],
> >
> > dann siehst du, dass es wegen [mm]0\le x\le 1[/mm]
>
> Was in der Aufgabenstellung schränkt den Bereich von [mm]x[/mm]
> ein?
Ah, ich hatte das wegen des Integrals in Teilaufgabe a angenommen. Es ist aber auch der einzig mögliche Bereich, denn:
1. Für $x > 1 $ ist die linke Seite [mm] $x(2*e^{x}-5)$ [/mm] immer größer als $-3$, denn dort ist
[mm] x(2*e^{x}-5) > 2*e^{x}-5 [/mm], da $x>1$, und
[mm] 2*e^{x}-5 > 2 *e^{1}-5 > -3 [/mm] , da die e-Funktion streng monoton steigt.
2. Für $x<0$ sind beide Faktoren $x$ und [mm] $2*e^{x}-5$ [/mm] negativ, sodass das Produkt niemals $-3$ ergeben kann.
3. Für $x=0$ ist die linke Seite 0.
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>
> > nur dann eine
> > Lösung geben kann, wenn [mm]2*e^{x}-5 \le -3[/mm] ist.
>
> Und was ist mit dem [mm]x[/mm] vor der Klammer passiert?
Für [mm] $x\not=0$ [/mm] ist
[mm] 2*e^{x}-5 = \bruch{-3}{x} < -3 [/mm], da hier $0<x<1$.
Also weisst du an dieser Stelle, dass es nur eine Lösung geben kann, die diese Ungleichung erfüllt.
> > Nun überlege dir, welche Werte [mm]2*e^{x}-5[/mm] im Intervall
> [mm][0,1][/mm]
> > überhaupt annimmt.
>
> Bei 0 ergibts -3 (was nach [mm]2*e^{x}-5 \le -3[/mm] also die
> Bedingung erfüllen würde, was es, wenn ich das x
> beibehalten würde nicht täte.
Also ist $x=0$ keine Lösung.
>
> Bei 1 ergibts 0,43 ein positiver Wert, der sowieso
> rausfällt... und nun?
Gibt es also einen Wert von x, der die Ungleichung $ [mm] 2*e^{x}-5 [/mm] < -3 $ erfüllt ? Wenn nein, dann hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösung, und die beiden Funktionen schneiden sich nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 17.01.2010 | | Autor: | Mampf |
Okay nun erscheints mir logisch, vielen Dank für Ihre Hilfe!
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