Schnittpunkte und Schnittwinkel von Gerade und Kugel(-oberfläche) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:54 Do 01.04.2004 | | Autor: | flo |
Hallo! :)
Wie kann ich denn jetzt die Schnittpunkte von der Gerade und der Kugel(-oberfläche) berechnen?
Einsetzen oder Gleichsetzen oder Umformen?? :(
g:(vektor)x= (2/2/7) + r (0/1/0)
K: (vektor x - [mm] (o/5/8))^2 [/mm] = 9
Liebe Grüße,
flo :)
PS: Wo kann ich die richtigen mathematischen Zeichen hier finden???
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Do 01.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> Wie kann ich denn jetzt die Schnittpunkte von der Gerade
> und der Kugel(-oberfläche) berechnen?
> Einsetzen oder Gleichsetzen oder Umformen?? :(
>
> g:(vektor)x= (2/2/7) + r (0/1/0)
>
> K: (vektor x - [mm] (o/5/8))^2 [/mm] = 9
Hier bleibt dir nur Einsetzen, denn die Geradengleichung ist eine Vektorgleichung (je Komponente eine Gleichung, also insgesamt drei) und die Kugelgleichung ist eine (einzige) Gleichung.
Der Weg ist also, die drei Komponentengleichungen für [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] der Gerade in die Kugelgleichung einzusetzen und dann (nach $r$) aufzulösen.
Hilft dir das weiter, oder soll ich mehr verraten? 
> PS: Wo kann ich die richtigen mathematischen Zeichen hier
> finden???
Wir haben eine Übersicht einiger Symbole zusammengestellt; eine derartige Formel schließt du dann noch in diesen "Tags" ein: [mm] ... [/mm]
Beispiel:
[mm] [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] [/mm]
ergibt
[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
--Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 01.04.2004 | | Autor: | flo |
Das habe ich jetzt nicht so wirklich verstanden...
aber ich hätte jetzt vielleicht einfach für vektor x der kugelgleichung die geradengleichung eingesetzt..
ich darf vektoren aber doch gar nicht quadrieren oder was war das?
irgendwas darf man auf jeden fall nicht mit vektoren machen.... :)
ich bin anstrengend, hm?!
lg, flo :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Do 01.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> Das habe ich jetzt nicht so wirklich verstanden...
> aber ich hätte jetzt vielleicht einfach für vektor x der
> kugelgleichung die geradengleichung eingesetzt..
Genau das meinte ich  , habe es aber etwas umständlich ausgedrückt.
Also, wir haben
$g: [mm] \vec x=\begin{pmatrix} 2\\2\\7 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] r\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
und
$K: [mm] \left( \vec x-\begin{pmatrix}0\\5\\8\end{pmatrix} \right)^2 [/mm] = 9$
Einsetzen von $g$ in $K$ liefert
[mm] $\left( \underbrace{\begin{pmatrix} 2\\2\\7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} }_{=\vec x}-\begin{pmatrix}0\\5\\8\end{pmatrix} \right)^2 [/mm] = 9$
Den Term in den großen Klammern vereinfachst du noch zu einem Vektor (in dem du die drei Vektoren komponentenweise addierst).
> ich darf vektoren aber doch gar nicht quadrieren oder was
> war das?
Doch, man kann Vektoren multiplizieren (und damit quadrieren), sogar auf mehrere Arten und Weisen ("Skalarprodukt" und "Vektorprodukt"), allerdings nicht auf die "naive", also komponentenweise, Methode wie beim Addieren.
Beispiel für Skalarprodukt (und das ist oben übrigens mit dem Quadrat implizit gemeint):
[mm] $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=1^2+2^2+3^2=1+4+9=14$
[/mm]
(Merke: Das Skalarprodukt ist eine einzige Zahl, ein "Skalar", und nicht wieder ein Vektor.)
> irgendwas darf man auf jeden fall nicht mit vektoren
> machen.... :)
Das stimmt, wie oben gesagt, macht die komponentenweise Multiplikation wenig Sinn (z.B. [mm] $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\*\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\stackrel{?}{=}\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}$; [/mm] man könnte eine derartige Multiplikation gerne definieren, nur hat sie dann keinen Nutzen )
Ebenso ist die Division von Vektoren nicht definiert.
> ich bin anstrengend, hm?!
Nö
Wie sieht es jetzt mit der eigentlichen Aufgabe aus, kommst du da jetzt weiter? In der großen Klammer steht ja jetzt nur noch ein Vektor, den du nach den Gesetzen der Skalarmultiplikation jetzt quadrieren kannst. Du erhälst eine quadratische Gleichung im Parameter $r$.
Frage auf jeden Fall nach, wenn du stecken bleibst.
--Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Do 01.04.2004 | | Autor: | flo |
Hast du auch r=[mm] \wurzel{41} [/mm] heraus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 01.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> Hast du auch r=[mm] \wurzel{41}[/mm] heraus?
Nein, etwas viel Schöneres.
Poste doch mal Zwischenergebnisse zum Vergleich.
--Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 01.04.2004 | | Autor: | flo |
och möönsch... =)
also, ich schreib aber nochmal in mener komischen schreibweise...
(4/4/49) [mm] +r^2 [/mm] (0/1/0) - (o/25/64) = 9
(4/-21/-15) + [mm] r^2 [/mm] (0/1/0) = 9
[mm] r^2 [/mm] (0/1/0) = 9 - (-32)
[mm] r^2= [/mm] 41...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 01.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> och möönsch... =)
Nicht ärgern, denn du bist gerade dabei, was zu lernen
> also, ich schreib aber nochmal in mener komischen
> schreibweise...
>
>
> (4/4/49) [mm] +r^2 [/mm] (0/1/0) - (o/25/64) = 9
Ui, ich weiß genau, was du hier gemacht hast. Erstens hast die Summanden einzeln quadriert, aber [mm] $(a+b-c)^2\neq a^2+b^2-c^2$!! [/mm] (Hier müßtest du schön ausmultiplizieren: [mm] $(a+b-c)^2=(a+b-c)*(a+b-c)=a^2+ab-ac+ab+b^2-bc-ac-bc+c^2$).
[/mm]
Zweitens hast du dann die Vektoren ja doch komponentenweise quadriert (siehe meinen vorherigen Artikel).
Um nicht zusätzliche Verwirrung zu stiften, hier die Lösung:
Wir hatten
[mm] $\left( \begin{pmatrix} 2\\2\\7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\5\\8\end{pmatrix} \right)^2 [/mm] = 9$
[mm] $\gdw \left( \begin{pmatrix} 2\\-3\\-1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \right)^2 [/mm] = 9$
[mm] $\gdw \left( \begin{pmatrix} 2\\-3+r\\-1 \end{pmatrix}\right)^2 [/mm] = 9$
[mm] $\gdw 2^2+(-3+r)^2+(-1)^2 [/mm] = 9$
[mm] $\gdw 4+r^2-6r+9+1 [/mm] = 9$
[mm] $\gdw r^2-6r+5 [/mm] = 0$
 p/q-Formel
[mm] $\gdw r_{1,2}=3\pm\wurzel{9-5}$
[/mm]
[mm] $\gdw r_{1,2}=3\pm2$
[/mm]
[mm] $\gdw r_1=1\;\;\vee\;\;r_2=5$ [/mm]
Die Gerade hat also zwei Schnittpunkte mit der Kugel; um die Koordinaten der Punkte zu bestimmen, setzt du die beiden Parameter in die Geradengleichung ein.
Ist dir die Vorgehensweise/der Rechenweg nun klar?
--Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 03.04.2004 | | Autor: | flo |
Achso, da hab ich wohl etwas falsch verstanden... ;(
Diese p/q-Formel kannte ich noch gar nicht... komisch!
Auf jeden Fall habe ich es alles nachvollziehen können - bis auf eine Sache..
Wenn die p/q-Formel lautet:
x1= -p/2 + wurzel aus blablabla..,
dann ist es aber doch bei der aufgabe "+" 6/2, weil doch p=-6 ist, oder?
meine schnittpunkte:
S1: (2/7/7)
S2:(2/3/7)
liebe grüße,
flo :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> Achso, da hab ich wohl etwas falsch verstanden... ;(
> Diese p/q-Formel kannte ich noch gar nicht... komisch!
Das ist wirklich komisch, aber auch wiederum nicht, denn man kann quadratische Gleichungen auch mit quadratischer Ergänzung lösen.
> Auf jeden Fall habe ich es alles nachvollziehen können -
> bis auf eine Sache..
> Wenn die p/q-Formel lautet:
> x1= -p/2 + wurzel aus blablabla..,
> dann ist es aber doch bei der aufgabe "+" 6/2, weil doch
> p=-6 ist, oder?
Ja, das stimmt, habe ich das anders gemacht? Kann den Fehler nicht bei mir finden (bitte weise mich ggfs. nochmal darauf hin).
> meine schnittpunkte:
>
> S1: (2/7/7)
> S2:(2/3/7)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt, super!
Dann darf ich doch jetzt annehmen, dass du die Rechnung und ihre Hintergründe verstanden hast, oder? Ansonsten weißt du ja, wo du uns findest
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 04.04.2004 | | Autor: | flo |
Und wie geht das jetzt mit dem Schnittwinkel von Gerade und Kugeloberfläche???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 04.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> Und wie geht das jetzt mit dem Schnittwinkel von Gerade und
> Kugeloberfläche???
Der Schnittwinkel wäre ja -- da die Kugel keine ebene Oberfläche hat -- der Schnittwinkel der Geraden mit der Tangentialebene, die am Schnittpunkt der Gerade (=Berührpunkt der Tangentialebene) gebildet wird.
Keine Angst, die Tangentialebene ist ganz einfach zu finden bzw. wir benötigen auch nur ihren Normalenvektor. Der ist aber nun gerade der Radius der Kugel, also der Vektor [mm] \vec{MS}, [/mm] wenn $M$ der Mittelpunkt der Kugel und $S$ der Schnittpunkt Gerade/Kugel ist.
Alles weitere müßte dir bekannt vorkommen, es handelt sich ja jetzt nur noch um den Schnittwinkel Ebene/Gerade.
Da die (Tangential-) Ebene in Normalenform gegeben ist, passt diese Schnittwinkelformel wie die Faust auf's Auge (das ist im wesentlichen die Definition des Skalarprodukts, wegen des Normalenvektors korrigiert um 90°, deswegen [mm] \sin [/mm] statt [mm] \cos:
[/mm]
[mm] \sin{\alpha}=\bruch{\vec u\*\vec n}{|\vec u|*|\vec n|}
[/mm]
Hierbei ist:
[mm] \vec{u} [/mm] Richtungsvektor der Geraden
[mm] \vec{n} [/mm] Normalenvektor der Ebene
[mm] \* [/mm] Skalarprodukt
Reichen die Infos? Poste doch mal deine Ergebnisse zur Kontrolle.
Viel Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Do 01.04.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Flo,
ich gebe dir aber in einem recht. Das Quadrat eines Vektors zu definieren, ist mehr als unglücklich, weil Potenzen normalerweise für innere Verknüpfungen einer Gruppe definiert sind, sprich: für Verknüpfungen, wo aus zwei Elementen einer Menge mit bestimmten Eigenschaften wieder ein Element aus der gleichen Menge rauskommt. Hier haben wir zwei Vektoren und heraus kommt ein Skalar, es ist also keine innere Verknüpfung. Leider hast sich diese schlechte Schreibweise in den Schulbüchern so eingebürgert. Innermathematisch besser wäre statt [mm]x^2[/mm] der Ausdruck:
[mm]|x|^2 = x\*x[/mm],
da man Normen (so was wie ein Betrag) so oder so ähnlich bezeichnet und dies eine spezielle Norm ist, aber nun gut, wir wissen was gemeint ist.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
